回路計算 - 合成インピーダンス

概要

回路の受動素子（抵抗R、コイルL、コンデンサC）が直列接続または並列接続されている場合の合成インピーダンスの計算手順を記載する。

RL直列回路の合成インピーダンス

RL直列回路は、抵抗RとコイルLが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.1 抵抗RとコイルLが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RL直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\dot{Z}=R+j\omega L[\mathrm{\Omega }]$

$\omega \ge 0,R>0,L>0$であるため、$\mathrm{\Re }(Z)=R>0,\mathrm{\Im }(Z)=\omega L>0$となり、
RL直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =R+j\omega L\\ \left|Z\right|& =\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

RC直列回路の合成インピーダンス

RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.2 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =R+\frac{1}{j\omega C}\\ & =R-j\frac{1}{\omega C}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,R>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=R>0,\mathrm{\Im }(Z)=-\frac{1}{\omega C}<0$となり、
RC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =R+\frac{1}{j\omega C}\\ & =R-j\frac{1}{\omega C}\\ \left|Z\right|& =\sqrt{R^2+{\left(\frac{1}{\omega C}\right)}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

LC直列回路の合成インピーダンス

LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.3 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

LC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =j\omega L+\frac{1}{j\omega C}\\ & =j\omega L-j\frac{1}{\omega C}\\ & =j(\omega L-\frac{1}{\omega C})[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,L>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=0,-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Im }(Z)=-\frac{1}{\omega C}<\mathrm{\infty }$となり、
LC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ$\dot{Z}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-{\omega }^{2}LC>0,1-{\omega }^{2}LC<0,1-{\omega }^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、複素数平面の原点Oとなる。

  インピーダンスが0ということは、その回路は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$ すなわち、$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =j\omega L+\frac{1}{j\omega C}\\ & =j(\omega L-\frac{1}{\omega C})\\ \left|Z\right|& =\sqrt{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2}\\ & =|\omega L-\frac{1}{\omega C}|[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

RLC直列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RLC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\dot{Z_1}+\dot{Z_2}+\dot{Z_3}=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}\\ & =R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C}\\ & =R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,R>0,L>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=R>0,-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Im }(Z)=\omega L-\frac{1}{\omega C}<\mathrm{\infty }$となり、
RLC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC直列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、上式の虚部($\omega L-\frac{1}{\omega C}$)が正・負・ゼロの時、それぞれ$\dot{Z}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$\omega L-\frac{1}{\omega C}>0,\omega L-\frac{1}{\omega C}<0,\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}>0$ の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}<0$ の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• $\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$ の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。($\dot{Z}=R[\mathrm{\Omega }]$)

  この条件を満たす周波数は共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの直列回路部分は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$ すなわち、$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}\\ & =R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})\\ \left|Z\right|& =\sqrt{R^2+{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.5 抵抗RとコイルLが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RL並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\frac{1}{\dot{Z}}& =\dot{Y_1}+\dot{Y_2}=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}\\ \dot{Z}& =\frac{1}{\dot{Y_1}+\dot{Y_2}}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}}\\ & =\frac{j\omega RL}{R+j\omega L}\\ & =\frac{j\omega RL(R-j\omega L)}{R^2+(\omega L{)}^2}\\ & =\frac{{\omega }^{2}R{L}^2+j\omega R^{2}L}{R^2+(\omega L{)}^2}\\ & =\frac{{\omega }^{2}R{L}^2}{R^2+(\omega L{)}^2}+j\frac{\omega R^{2}L}{R^2+(\omega L{)}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,R>0,L>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=\frac{{\omega }^{2}R{L}^2}{R^2+(\omega L{)}^2}>0,\mathrm{\Im }(Z)=\frac{\omega R^{2}L}{R^2+(\omega L{)}^2}>0$となり、
RL並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}}\\ & =\frac{j\omega RL}{R+j\omega L}\\ \left|Z\right|& =\frac{\sqrt{(\omega RL{)}^2}}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}\\ & =\frac{\omega RL}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.6 抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\frac{1}{\dot{Z}}& =\dot{Y_1}+\dot{Y_2}=\frac{1}{R}+j\omega C\\ \dot{Z}& =\frac{1}{\dot{Y_1}+\dot{Y_2}}=\frac{1}{\frac{1}{R}+j\omega C}\\ & =\frac{R}{1+j\omega RC}\\ & =\frac{R(1-j\omega RC)}{1+(\omega RC{)}^2}\\ & =\frac{R-j\omega R^{2}C}{1+(\omega RC{)}^2}\\ & =\frac{R}{1+(\omega RC{)}^2}-j\frac{\omega R^{2}C}{1+(\omega RC{)}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,R>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=\frac{R}{1+(\omega RC{)}^2}>0,\mathrm{\Im }(Z)=-\frac{\omega R^{2}C}{1+(\omega RC{)}^2}<0$となり、
RC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\frac{1}{\frac{1}{R}+j\omega C}\\ & =\frac{R}{1+j\omega RC}\\ \left|Z\right|& =\frac{\sqrt{R^2}}{\sqrt{1^2+(\omega RC{)}^2}}\\ & =\frac{R}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.7 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

LC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\frac{1}{\dot{Z}}& =\dot{Y_1}+\dot{Y_2}=\frac{1}{j\omega L}+j\omega C\\ \dot{Z}& =\frac{1}{\dot{Y_1}+\dot{Y_2}}=\frac{1}{\frac{1}{j\omega L}+j\omega C}\\ & =j\frac{\omega L}{1-{\omega }^{2}LC}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,L>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=0,-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Im }(Z)=\frac{\omega L}{1-{\omega }^{2}LC}<\mathrm{\infty }$となり、
LC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ$\dot{Z}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-{\omega }^{2}LC>0,1-{\omega }^{2}LC<0,1-{\omega }^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $1-{\omega }^{2}LC>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• $1-{\omega }^{2}LC<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• $1-{\omega }^{2}LC=0$の場合

  上式のリアクタンスが無限大になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きに無限大となる。

  インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになる。

  
  

  また、$1-{\omega }^{2}LC=0$ すなわち、$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\frac{1}{\frac{1}{j\omega L}+j\omega C}\\ & =\frac{j\omega L}{1-{\omega }^{2}LC}\\ \left|Z\right|& =\frac{\sqrt{(\omega L{)}^2}}{\sqrt{1^2+({\omega }^{2}LC{)}^2}}\\ & =\left|\frac{\omega L}{\sqrt{1+({\omega }^{2}LC{)}^2}}\right|[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

RLC並列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.8 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RLC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

$\begin{array}{rl}\frac{1}{\dot{Z}}& =\dot{Y_1}+\dot{Y_2}+\dot{Y_3}=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C\\ \dot{Z}& =\frac{1}{\dot{Y_1}+\dot{Y_2}+\dot{Y_3}}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C}\\ & =\frac{j\omega RL}{R+j\omega L-{\omega }^{2}RLC}\\ & =\frac{j\omega RL}{R-{\omega }^{2}RLC+j\omega L}\\ & =\frac{j\omega RL(R-{\omega }^{2}RLC-j\omega L)}{(R-{\omega }^{2}RLC{)}^2+(\omega L{)}^2}\\ & =\frac{{\omega }^{2}R{L}^2+j\omega R^{2}L-j{\omega }^3{R}^2{L}^{2}C}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}\\ & =\frac{{\omega }^{2}R{L}^2}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}+j\frac{\omega R^{2}L-{\omega }^3{R}^2{L}^{2}C}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}\\ & =\frac{{\omega }^{2}R{L}^2}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}+j\frac{\omega R^{2}L(1-{\omega }^{2}LC)}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$\omega \ge 0,R>0,L>0,C>0$であるため、
$\mathrm{\Re }(Z)=\frac{{\omega }^{2}R{L}^2}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}>0,-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Im }(Z)=\frac{\omega R^{2}L(1-{\omega }^{2}LC)}{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}<\mathrm{\infty }$となり、
RLC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC並列回路の合成インピーダンス$\dot{Z}$は、上式の分子(特に、$1-{\omega }^{2}LC$)が正・負・ゼロの時、それぞれ$\dot{Z}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-{\omega }^{2}LC>0,1-{\omega }^{2}LC<0,1-{\omega }^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $1-{\omega }^{2}LC>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• $1-{\omega }^{2}LC<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• $1-{\omega }^{2}LC=0$の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。($\dot{Z}=R[\mathrm{\Omega }]$)

  この条件を満たす周波数は反共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになる。

  
  

  また、$1-{\omega }^{2}LC=0$ すなわち、$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\frac{j\omega RL}{R+j\omega L-{\omega }^{2}RLC}\\ & =\frac{j\omega RL}{R-{\omega }^{2}RLC+j\omega L}\\ & =\frac{j\omega RL}{R(1-{\omega }^{2}LC)+j\omega L}\\ \left|Z\right|& =\frac{\sqrt{(\omega RL{)}^2}}{\sqrt{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}}\\ & =\frac{\omega RL}{\sqrt{R^2(1-{\omega }^{2}LC{)}^2+(\omega L{)}^2}}[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

例題

例題 1

下図のようなRL回路がある時、抵抗に掛かる電圧を求める。

回路のインピーダンス$\dot{Z}$とインピーダンスの大きさ$|Z|$は、次式となる。
$\dot{Z}=R+j\omega L=15+j20$
$|Z|=\sqrt{15^2+20^2}=25[\mathrm{\Omega }]$

全体に流れる電流Iの大きさ$|I|$は、次式となる。
$|I|=\frac{|V|}{|Z|}=\frac{100}{25}=4[\text{A}]$

したがって、抵抗に掛かる電圧$\dot{V_R}$は、次のようになる。
$\dot{V_R}=|I|\times R=4\times 15=60[\text{V}]$となる。

インダクタに掛かる電圧$\dot{V_L}$は、次のようになる。
$\dot{V_L}=|I|\times j\omega L=4\times j20=j80[\text{V}]$となる。

電圧$\dot{V}$および電圧の大きさ$|V|$を求める場合は、次式のように計算する。
$\dot{V}=60+j80$ より、
$|V|=\sqrt{60^2+80^2}=100[\text{V}]$ となる。

例題 2

下図のような回路がある時、各抵抗、インダクタ、コンデンサに掛かる電圧を求める。

電流I₁より、
$\begin{array}{rl}\dot{V_{R1}}& =|I_1|\times R_1=20\times 4=80[\text{V}]\\ \dot{V_L}& =|I_1|\times j\omega L=20\times j3=j60[\text{V}]\\ |E|& =|V_1|=\sqrt{80^2+60^2}=100[\text{V}]\end{array}$

電流I₂は、電源電圧100[V]と抵抗R₂およびコンデンサCのインピーダンスZ₂より、10[A]となる。
$|I_2|=\frac{|E|}{|Z_2|}=\frac{100}{\sqrt{6^2+8^2}}=10[\text{A}]$

回路に流れる全電流Iは、電源電圧Eから回路全体のインピーダンスZを除算することにより、求めることができる。
$\dot{Y_1}=\frac{1}{4+j3},\dot{Y_2}=\frac{1}{6-j8}$
$\begin{array}{rl}\dot{Z}& =\frac{1}{\dot{Y}}\\ & =\frac{1}{\dot{Y_1}+\dot{Y_2}}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{4+j3}+\frac{1}{6-j8}}=\frac{(4+j3)(6-j8)}{4+j3+6-j8}=\frac{48-j14}{10-j5}\\ & =\frac{(48-j14)(10+j5)}{125}=\frac{550+j100}{125}=\frac{22+j4}{5}\\ & =\frac{22}{5}+j\frac{4}{5}\end{array}$

したがって、インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、
$\begin{array}{rl}\left|Z\right|& =\sqrt{{\left(\frac{22}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{5}\sqrt{22^2+4^2}\\ & =\frac{1}{5}\sqrt{500}\\ & =2\sqrt{5}\\ & \cong 4.47[\mathrm{\Omega }]\end{array}$

$|I|=\frac{|E|}{|Z|}=\frac{100}{4.47}\cong 22.37[\text{A}]$ となる。

または、次式のように求めることもできる。
$|I|=\sqrt{I_1^2+I_2^2}=\sqrt{20^2+10^2}=10\sqrt{5}[\text{A}]$