回路計算 - 合成インピーダンスのソースを表示

== 概要 ==

<br><br>

== RL直列回路の合成インピーダンス ==
RL直列回路は、抵抗RとコイルLが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 5.png|フレームなし|中央]]
<center>図.1 抵抗RとコイルLが直列接続の回路</center><br>
<br>
直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br>
<br>
RL直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>\dot{Z} = R + j \omega L \quad [\Omega]</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0</math>であるため、<math>\Re(Z) = R > 0, \quad \Im(Z) = \omega L > 0</math>となり、<br>
RL直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。<br>
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= R + j \omega L  \\
\left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== RC直列回路の合成インピーダンス ==
RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 6.png|フレームなし|中央]]
<center>図.2 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路</center><br>
<br>
直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br>
<br>
RC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= R - j \frac{1}{\omega C} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = R > 0, \quad \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < 0</math>となり、<br>
RC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。<br>
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= R - j \frac{1}{\omega C} \\
\left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + \left (\frac{1}{\omega C} \right )^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== LC直列回路の合成インピーダンス ==
LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 7.png|フレームなし|中央]]
<center>図.3 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路</center><br>
<br>
直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br>
<br>
LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \\
        &= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < \infty</math>となり、<br>
LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。<br>
<br>
LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br>
したがって、<math>1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。
*: <br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} < 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。
*: <br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、複素数平面の原点Oとなる。
*: インピーダンスが0ということは、その回路は短絡状態と同じになる。
*: <br>
*: また、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \\
\left | Z \right | &= \sqrt{\left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2} \\
                   &= \left | \omega L - \frac{1}{\omega C} \right | \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== RLC直列回路の合成インピーダンス ==
RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 8.png|フレームなし|中央]]
<center>図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路</center><br>
<br>
直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br>
<br>
RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= \dot{Z_1} + \dot{Z_2} + \dot{Z_3} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \\
        &= R + j (\omega L - \frac{1}{\omega C}) \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = R > 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \omega L - \frac{1}{\omega C} < \infty</math>となり、<br>
RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。<br>
<br>
RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の虚部(\omega L - \frac{1}{\omega C})が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br>
したがって、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0</math> の場合
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。
*: <br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} < 0</math> の場合
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。
*: <br>
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math> の場合
*: 上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(<math>\dot{Z} = R [\Omega]</math>)
*: この条件を満たす周波数は共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの直列回路部分は短絡状態と同じになる。
*: <br>
*: また、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\
        &= R + j (\omega L - \frac{1}{\omega C}) \\
\left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== RL並列回路の合成インピーダンス ==
RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 1.png|フレームなし|中央]]
<center>図.5 抵抗RとコイルLが並列接続の回路</center><br>
<br>
並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br>
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。<br>
<br>
RL並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} \\
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\
        &= \frac{j \omega RL (R - j \omega L)}{R^2 + (\omega L)^2} \\
        &= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \\
        &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} > 0</math>となり、<br>
RL並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。<br>
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\
\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega R L)^2}}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \\
                   &= \frac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== RC並列回路の合成インピーダンス ==
RC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 2.png|フレームなし|中央]]
<center>図.6 抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路</center><br>
<br>
並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br>
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。<br>
<br>
RC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{R} + j \omega C \\
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C} \\
        &= \frac{R}{1 + j \omega RC} \\
        &= \frac{R (1 - j \omega RC)}{1 + (\omega RC)^2} \\
        &= \frac{R - j \omega R^2 C}{1 + (\omega RC)^2} \\
        &= \frac{R}{1 + (\omega RC)^2} - j \frac{\omega R^2 C}{1 + (\omega RC)^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = \frac{R}{1 + (\omega RC)^2} > 0, \quad \Im(Z) = - \frac{\omega R^2 C}{1 + (\omega RC)^2} < 0</math>となり、<br>
RC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。<br>
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C} \\
        &= \frac{R}{1 + j \omega RC} \\
\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{R^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} \\
                   &= \frac{R}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== LC並列回路の合成インピーダンス ==
LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 3.png|フレームなし|中央]]
<center>図.7 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路</center><br>
<br>
並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br>
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。<br>
<br>
LC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{j \omega L} + j \omega C \\
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\
        &= j \frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC} < \infty</math>となり、<br>
LC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。<br>
<br>
LC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br>
したがって、<math>1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br>
* <math>1 - \omega^2 LC > 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。
*: <br>
* <math>1 - \omega^2 LC < 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。
*: <br>
* <math>1 - \omega^2 LC = 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが無限大になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きに無限大となる。
*: インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになる。
*: <br>
*: また、<math>1 - \omega^2 LC = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\
        &= \frac{j \omega L}{1 - \omega^2 LC} \\
\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega L)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega^2 LC)^2}} \\
                   &= \left | \frac{\omega L}{\sqrt{1 + (\omega^2 LC)^2}} \right | \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== RLC並列回路の合成インピーダンス ==
RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 4.png|フレームなし|中央]]
<center>図.8 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路</center><br>
<br>
並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br>
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。<br>
<br>
RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br>
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br>
<br>
* 複素数表示の場合
<math>
\begin{align}
\frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C \\
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\
        &= \frac{j \omega RL(R - \omega^2 RLC - j \omega L)}{(R - \omega^2 RLC)^2 + (\omega L)^2} \\
        &= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L - j \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\
        &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L - \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\
        &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br>
<math>\Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} < \infty</math>となり、<br>
RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。<br>
<br>
RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の分子(特に、<math>1 - \omega^2 LC</math>)が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br>
したがって、<math>1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br>
* <math>1 - \omega^2 LC > 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。
*: <br>
* <math>1 - \omega^2 LC < 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。
*: <br>
* <math>1 - \omega^2 LC = 0</math>の場合
*: 上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(<math>\dot{Z} = R [\Omega]</math>)
*: この条件を満たす周波数は反共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになる。
*: <br>
*: また、<math>1 - \omega^2 LC = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。
<br>
* 合成インピーダンスの大きさの場合
<math>
\begin{align}
\dot{Z} &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\
        &= \frac{j \omega RL}{R (1 - \omega^2 LC) + j \omega L} \\
\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega RL)^2}}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \\
                   &= \frac{\omega RL}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega]
\end{align}
</math><br>
<br><br>

__FORCETOC__
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