統計学 - 連続型確率分布

確率密度

離散型でのサンプル数を増加させて、各区間の幅を減少させた時のヒストグラムの極限 (幅を0に近付ける) が連続型での確率密度の曲線になる。
連続型での確率密度の値は、離散型でのヒストグラムの縦軸の値に相当する。

離散型での確率関数Piの代わりに、連続型では確率密度 $f(x)$ を用いる。

連続型での確率密度 $f(x)$ は、$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ と積分することにより確率となる。

確率密度 $f(x)$ 単体は、各xの値の発生確率に比例する相対値の意味である。

例えば、サイコロの目が $X=1,2,3,4,5,6$ ではなく、0～6の間の実数値とする場合、0～6の間の実数は無限個 (全体集合の個数 $n(U)=\mathrm{\infty }$ ) となる。
つまり、0～6の間の実数Xを1つ取る時、その確率は、$\frac{1}{n(U)}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ となる。
連続型では、ある実数1つを取る確率は0となる。

しかし、$1\le x\le 3$ の実数の範囲とする時、その確率は、$\frac{1\le x\le 3}{1\le x\le 6}=\frac{1}{2}$ となる。

連続型では、離散型での確率関数Piで確率が計算できない。(実数1つの確率が連続型では必ず0のため)

連続型では、次式のように、実数の範囲の確率を積分で考える。
つまり、確率密度関数f(x)の面積で確率を考える。
$P(a\le x\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

• 離散型では全確率関数の和 (= 1)

  $\sum _{i=1}^n{P}_i=1$

• 連続型では実数の全範囲の積分 (= 1)

  $P(-\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty })=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$

累積分布関数

• 離散型での累積分布関数

  xより小さい確率変数の実現値xiに対応する確率関数Piの和

  $F(x)=\sum _{x_i\le x}{P}_i$

• 連続型での累積分布関数

  $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

累積分布関数のグラフ

連続型での累積分布関数
$F(a)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(t)dt$

累積分布関数の性質

累積分布関数F(x)は、単調に増加する。
$a\le b$ ならば、$F(a)\le F(b)$

$F(-\mathrm{\infty })=0,F(\mathrm{\infty })=1$

$\begin{array}{rl}P(a\le x\le b)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx\\ & =F(b)-F(a)\end{array}$

連続型確率分布の期待値

• 離散型での期待値

  $\mu =E[X]=\sum _{i=1}n{x}_i\cdot P_i=x_1{P}_1+x_2{P}_2+\cdots +x_n{P}_n$

• 連続型での期待値

  $\mu =E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)dx$

連続型確率分布の分散

• 離散型での分散

  ${\sigma }^2=V[X]=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2\cdot P_i=(x_1-\mu {)}^2\cdot P_1+(x_2-\mu {)}^2\cdot P_2+\cdots +(x_n-\mu {)}^2\cdot P_n$

• 連続型での分散

  ${\sigma }^2=V[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^2\cdot f(x)dx=E[X^2]-E[X]\cdot E[X]$

離散型確率分布および連続型確率分布の両方において、標準偏差σは $\sigma =\sqrt{V[X]}$ である。