回路計算 - RL直列回路

概要

RL直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下のような手順で解く。

1. 対象の回路の回路方程式をたてる。
2. 初期条件を考慮して微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RL直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RL直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を$i(t)[A]$、$i(0)=0[A]$とする時、次式(1)の微分方程式となる。
$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}=E$ …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
$\begin{array}{rl}RI(s)+sLI(s)-i(0)& =\frac{E}{s}\\ RI(s)+sLI(s)& =\frac{E}{s}\end{array}$
$\begin{array}{rl}I(s)(R+sL)& =\frac{E}{s}\\ I(s)& =\frac{E}{s(R+sL)}\\ I(s)& =\frac{E}{L}\frac{1}{s(s+\frac{R}{L})}\dots \text{(2)}\end{array}$

上式(2)において、部分分数分解を行う。
$\frac{1}{s(s+\frac{R}{L})}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{R}{L}}$ より、
$A=\frac{L}{R},B=-\frac{L}{R}$ となる。

したがって、(2)式は次式(3)に変形される。
$\begin{array}{rl}I(s)& =\frac{E}{L}\frac{1}{s(s+\frac{R}{L})}\\ & =\frac{E}{L}\frac{L}{R}(\frac{1}{s}-\frac{B}{s+\frac{R}{L}})\\ & =\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-\frac{B}{s+\frac{R}{L}})\dots \text{(3)}\end{array}$

最後に、上式(3)を逆ラプラス変換する。
$i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})$

したがって、RL直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて増加が緩やかになる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は0から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)とE/Rの大きさの電流が流れ続ける。
つまり、定常状態に達すると、コイルLは短絡されているのと同じということになる。

また、RL直列回路の時定数τは、$\tau =\frac{L}{R}$である。

抵抗Rに掛かる電圧の求め方

RL直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

抵抗Rにかかる電圧E_R(t)[V]は、次式となる。
$\begin{array}{rl}{E}_R(t)& =i(t)R\\ & =\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})R\\ & =E(1-e^{-\frac{R}{L}t})\end{array}$

抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧E_R(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。
したがって、電源の電圧がすべて抵抗Rに掛かることになる。

つまり、定常状態に達するとコイルLが無い場合と同様(コイルが短絡された状態と同じ)ということになる。

コイルLに掛かる電圧の求め方

RL直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

コイルLにかかる電圧E_L(t)[V]は、次式となる。
$\begin{array}{rl}{E}_L(t)& =L\frac{di(t)}{dt}\\ & =L(\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}){)}^{\prime }\\ & =\frac{LE}{R}(-\frac{R}{L})e^{-\frac{R}{L}t}\\ & =E{e}^{-\frac{R}{L}t}\end{array}$

コイルLの電圧E_L(t)のグラフは、電圧はE[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。

したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧がすべてコイルLに掛かるが、定常状態に達すると、
コイルLには電圧がかからず、電源の電圧はすべて抵抗Rにかかる。