回路計算 - RC直列回路

概要

RC直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下に示すような手順で解く。

対象の回路の回路方程式をたてる。
初期条件を考慮して、微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RC直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RC直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を $i (t) [A]$ 、 $i (0) = 0 [A]$ とする時、次式(1)の微分方程式となる。
$R i (t) + \frac{1}{C} \int_{0} t i (t) d t = E$ …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
$\begin{aligned} R I (s) + \frac{1}{s C} I (s) - i (0) & = \frac{E}{s} \\ R I (s) + \frac{1}{s C} I (s) & = \frac{E}{s} \end{aligned}$
$\begin{array}{lcl} I (s) (R + \frac{1}{s C}) & = & \frac{E}{s} \\ = & \frac{E}{s (R + \frac{1}{s C})} \\ = & \frac{E}{s R + \frac{1}{C}} \\ = & \frac{E}{R} \frac{1}{s + \frac{1}{R C}} \dots (2) \end{array}$

上式(2)を逆ラプラス変換する。
$i (t) = \frac{E}{R} e^{- \frac{1}{R C} t}$

したがって、RC直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて流れなくなる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は $\frac{E}{R}$ から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)と0になる。
つまり、定常状態に達すると、コンデンサCはオープンされているのと同じということになる。

また、RC直列回路の時定数τは、 $τ = \frac{1}{R C}$ である。

抵抗Rに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

抵抗Rにかかる電圧E_R(t)[V]は、次式となる。
$\begin{aligned} E_{R} (t) & = i (t) R \\ = \frac{E}{R} e^{- \frac{1}{R C} t} R \\ = E e^{- \frac{1}{R C} t} \end{aligned}$

抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧E_R(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は $\frac{E}{R}$ [V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。

コンデンサCに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

コンデンサCにかかる電圧E_C(t)[V]は、次式となる。
$\begin{aligned} E_{C} (t) & = \frac{1}{C} \int i (t) d t \\ = \frac{1}{C} \int \frac{E}{R} e^{- \frac{1}{R C} t} d t \\ = \frac{E}{R C} \int e^{- \frac{1}{R C} t} d t \\ = \frac{E}{R C} \frac{1}{- \frac{1}{R C}} e^{- \frac{1}{R C} t} + D \\ = \frac{E}{R C} (- R C) e^{- \frac{1}{R C} t} + D \\ = - E e^{- \frac{1}{R C} t} + D \end{aligned}$

初期条件として、 $t = 0$ の時、 $E_{C} = 0$ を利用する。
$E_{C} (0) = - E e^{- \frac{1}{R C} t} + D$

$\begin{aligned} 0 & = - E \times 1 + D \\ 0 & = - E + D \\ D & = E \end{aligned}$

したがって、
$\begin{aligned} E_{C} (t) & = - E e^{- \frac{1}{R C} t} + E \\ = E (1 - e^{- \frac{1}{R C} t}) \end{aligned}$
コンデンサCの電圧E_C(t)のグラフは、電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。

したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧が全て抵抗に掛かるが、
定常状態に達すると抵抗には電圧がかからず、電圧は全てコンデンサにかかる。