極座標

概要

極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のことである。
点S(0, 0, x3, ..., xn)を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、
点Sにおいては、ヤコビアンが0となってしまうため、一意的な極座標表現は不可能である。
これは、点Sにおける偏角が定義できないことからも明らかである。

円座標

2次元ユークリッド空間R2における極座標は円座標と呼ばれ、1つの動径座標と一つの角度座標からなる最も単純な極座標である。
rθ平面、極座標平面(または平面極座標)ともいう。

特異点は(r, θ) = (0, θ)、すなわち、xy座標での原点(x, y) = (0, 0)である。
2次元ベクトル空間にも定義できることから、複素数体C上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。
その場合、オイラーの公式を利用してz = reiθと表す。
円座標平面上で偏角を限定しない場合、xy平面上で円を描く。

円座標(r, θ)から直交直線座標(x, y)への変換は次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \\ \end{array}$

角度座標の範囲を$-\pi <\theta \le \pi$とする場合、直交直線座標から円座標への変換は次式で与えられる。
ここで、sgnは符号関数である。
$\{\begin{array}{ll}r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta & =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\ \end{array}$

原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。

ヤコビアン

2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算してdxdyとdrdθの関係式を求める必要がある。
$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|\\ & =r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta \\ & =r\end{array}$
したがって、$dxdy=rdrd\theta$となる。

例1. 円の積分

以下の2重積分を求めよ。
$\underset{D}{\iint }xydxdyD=\{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 4,x\ge 0,y\ge 0\}$

このように円が含まれる場合は、極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta (r\ge 0,0\le \theta \le 2\pi )$とおく。
積分範囲は、$1\le r^2\le 4,r\cos \theta \ge 0,r\sin \theta \ge 0$となり、$r\ge 0$のため、$1\le r\le 2,\cos \theta \ge 0,\sin \theta \ge 0$となる。
$\cos \theta \ge 0$かつ$\sin \theta \ge 0$を満たすθは、$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$なので、
変換後の積分範囲D'は、$D^{\prime }=\{(r,\theta )|1\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$の形に変形でき、2重積分を計算することができる。
$\begin{array}{rl}& \underset{D}{\iint }xydxdy\\ =& \underset{D^{\prime }}{\iint }{r}^3\sin \theta \cos \theta drd\theta \\ =& \underset{1}{\overset{2}{\int }}{r}^{3}dr\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \theta \cos \theta d\theta \\ =& \underset{1}{\overset{2}{\int }}{r}^{3}dr\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2\theta d\theta \\ =& {\left[\frac{1}{4}{r}^4\right]}_1^2\frac{1}{2}{[-\frac{1}{2}\cos 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ =& (4-\frac{1}{4})\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\\ =& \frac{15}{4}\times \frac{1}{2}\\ =& \frac{15}{8}\end{array}$

例2. 楕円の積分

以下の2重積分を求めよ。
$\underset{D}{\iint }xydxdyD=\{(x,y)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}$

積分領域Dが楕円の場合、楕円の方程式$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の分母a²とb²を消すため、極座標変換を行い、
$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta (r\ge 0,0\le \theta \le 2\pi )$とおく。

ヤコビアンを計算して dxdyとdrdθの関係式を求める。
$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right|\\ & =abr{\cos }^2\theta +abr{\sin }^2\theta \\ & =abr\end{array}$
したがって、$dxdy=abrdrd\theta$となる。

また、積分範囲は、$0\le r^2\le 1,r\cos \theta \ge 0,r\sin \theta \ge 0$となるので、
変換後の積分領域D'は、$D^{\prime }=\{(r,\theta )|0\le r\le 1,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$の形に変形できる。

$\begin{array}{rl}& \underset{D}{\iint }ydxdy\\ =& \underset{D^{\prime }}{\iint }a{b}^2{r}^2\sin \theta drd\theta \\ =& a{b}^2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{r}^{2}dr\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \theta d\theta \\ =& a{b}^2{\left[\frac{1}{3}{r}^3\right]}_0^1{[-\cos \theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ =& a{b}^2\frac{1}{3}\times 1\\ =& \frac{1}{3}a{b}^2\end{array}$

円柱座標

円座標で(0, 0)を除くXY平面上の全ての点を表現できることから、これにZ軸を加えれば、XYZ空間が表現できる。
これを円柱座標という。

円柱座標空間上(RθZ空間上)で、θとZを限定しない場合、XYZ空間上で円柱を描く。
また、円柱座標空間上の特異点はZ軸上の全ての点である。

円筒座標(r, θ, z) から直交直線座標(x, y, z)への変換は次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \\ z& =z\end{array}$

直交直線座標から円筒座標への変換は、次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta & =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\ z& =z\end{array}$

球座標

3次元ユークリッド空間R3における極座標である。球面座標ともいう。
1個の動径rと2個の偏角θ、φによって表現される。(下図を参照)

球座標において、動径を固定して、2個の偏角を動かせば、XYZ空間上で球を描く。

球座標から直交直線座標への変換は、次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \\ \end{array}$

直交直線座標から球座標への変換は、次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\\ \varphi & =\mathrm{sgn}(y)\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\end{array}$

Z軸上の$(x,y)=(0,0)$において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。
原点においては、θも定まらない。

ヤコビアンにおいて、$dxdydz$ と $drd\theta d\varphi$ の関係式は次式となる。
$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial \varphi }\\ \end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \end{array}\right|\\ & =r^2\sin \theta {\cos }^{}\theta {\cos }^{}\varphi +r^2{\sin }^{}\theta {\sin }^{}\varphi +r^2\sin \theta {\cos }^{}\theta {\sin }^{}\varphi +r^2{\sin }^{}\theta {\cos }^{}\varphi \\ & =r^2(\sin \theta {\cos }^{}\theta {\cos }^{}\varphi +{\sin }^{}\theta {\sin }^{}\varphi +\sin \theta {\cos }^{}\theta {\sin }^{}\varphi +{\sin }^{}\theta {\cos }^{}\varphi )\\ & =r^2\{{\sin }^3\theta ({\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi )+\sin \theta {\cos }^{}\theta ({\sin }^{}\varphi +{\cos }^{}\varphi )\}\\ & =r^2({\sin }^3\theta +\sin \theta {\cos }^{}\theta )\\ & =r^2\sin \theta ({\sin }^{}\theta +{\cos }^{}\theta )\\ & =r^2\sin \theta \end{array}$

したがって、$dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$ となる。