極値

概要

微分の分野では、関数が極値を持つかどうかという問題をよく考える。
ここでは、極値を持つ条件とその注意点を記載する。

1変数関数の極値

極値の見つけ方

(微分可能な)関数$f(x)$が$x=a$で極値を取るならば、$\frac{df(a)}{dx}=0$である。
対偶を取れば、$\frac{df(a)}{dx}\ne 0$となる点は、必ずしも極値ではない。

$\frac{df(a)}{dx}=0$はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。

例えば、$f(x)=x^3$の導関数は、$\frac{df(x)}{dx}=3x^2$である。
$\frac{df(x)}{dx}=0$を解くと、$x=0$が極値点の候補として見つかるが、$f(x)=x^3$において$x=0$は極値点ではない。

これは、$x=\pm \frac{1}{10}$という点を考える時、$-\frac{1}{10^3}<f(0)<\frac{1}{10^3}$という関係が成り立つが、$f(0)$よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、$x=0$の近くにある。
0のどんなに近くにも$f(0)$より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。

極値の判定条件

2階微分できる関数$f(x)$が存在する時、$\frac{df(a)}{dx}=0$かつ$x=a$の前後で$\frac{df(x)}{dx}$の符号が変化するならば、関数$f(x)$は、$x=a$で極値をとる。

さらに、以下のように判定することができる。

• $\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}>0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極小値をとる。
• $\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}<0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極大値をとる。

ただし、上記の判定方法には欠点があり、$\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}=0$の時の判定ができない。
$f(x)=x^3$においては、$\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}=6x,\frac{d^{2}f(0)}{d{x}^2}=0$となるが、$x=0$は極値ではない。

例えば、$f(x)=x^3+a{x}^2+2x+1$が極値を持つようなaの範囲を求める場合、
ポイントとして、極値となる候補を見つけて、その点の前後で$\frac{df(a)}{dx}$の符号が変化するならば、それが極値となる。

上式をxで微分して、$\frac{df(x)}{dx}=3x^2+2ax+2=0$を解く。
解の公式を使用すると、$x=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-6}}{3}$となる。

この時、$\frac{df(x)}{dx}=0$が、aの値に応じていくつ解を持つか、および、その時の符号の変化がどうなるか、ということがポイントとなる。
判別式$D=a^2-6$の符号が重要であるため、場合分けして考える。

• $D>0$の時、$\frac{df(x)}{dx}=0$は2つの実数解を持ち、$\frac{df(x)}{dx}$はその前後で符号が変化する。
  すなわち、その2つの解は極値となる。
• $D=0$の時、$\frac{df(x)}{dx}=0$は重解を持ち、$\frac{df(x)}{dx}$はその前後で符号が正である。
  すなわち、その点は極値ではない。
• $D<0$の時、$\frac{df(x)}{dx}=0$は実数解を持たず、常に$\frac{df(x)}{dx}>0$となる。
  すなわち、極値を持たない。

上記の場合分けより、$D>0$の時のみ極値を持つ。
$a^2-6>0$を解けば、$a<\pm \sqrt{6}$となり、$-\sqrt{6}<a<\sqrt{6}$の時、$f(x)$は極値を持つ。
また、極値を持たないaの範囲は、$D\le 0$の時であり、範囲は$-\sqrt{6}\le a\le \sqrt{6}$となる。

一般的に、3次関数については以下のような性質が成り立つ。
$f(x)$を3次関数とする時、$\frac{df(x)}{dx}$は2次関数となる。2次方程式$\frac{df(x)}{dx}=0$の判別式をDとする時、

• $f(x)$が極値を持つことと、$D>0$は同値である。
• $f(x)$が極値を持たないことと、$D\le 0$は同値である。