テイラー級数展開

概要

テイラー級数展開とは、そのままでは扱いにくい関数を、級数の形に近似することである。

例えば、ある点aにおける関数f(x)の振る舞いについてはよく知っているとする。
aにおける関数の値、関数のグラフの傾きの値、2階微分の値、3階微分の値など、それらの値をを使用して、
aからわずかに離れたx地点での関数の値f(x)を言い当てることができるか、というのがテーマである。

このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。
xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)²や(x−a)³という形で出てきている。

テイラーの定理
$f(x)$ が $a\le x\le b$ において、$n$階微分可能な時

$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(a)}{d{x}^n}(x-a{)}^n\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2!}{f}^{″}(a)(x-a{)}^2+\frac{1}{3!}{f}^{‴}(a)(x-a{)}^3+\cdots \end{array}$

となる $b(a<b<x)$ が存在する。

このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。
これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。

更にかみ砕いて言うと、関数f(x)全体をxの多項式で近似することはできない場合でも、
ある値aの付近であれば関数f(x)はテイラー級数展開を使った多項式で近似できるということである。


もし、aとして0を選ぶ場合(原点のまわりでのテイラー級数展開)を、マクローリン級数展開と呼ぶ。
$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(0)}{d{x}^n}{x}^n\\ & =f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)x^2+\frac{1}{3!}{f}^{‴}(0)x^3+\cdots \end{array}$

近似でよく利用される形

上式に繰り返し出てくる $(x-a)$ の部分は $a$ からの微妙なズレ具合を表している。

まず、通常のテイラー級数展開は、ある点aの周りで関数f(x)を展開する場合、次式のような形になる。
$f(x)=f(a)+\frac{df(a)}{dx}(x-a)+\frac{1}{2!}\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}(x-a{)}^2+\frac{1}{3!}\frac{d^{3}f(a)}{d{x}^3}(x-a{)}^3+\cdots$

一方、$f(x+h)$ の展開を考える場合、xを基準点として考えている。
つまり、この場合は、展開の中心点が $a=x$、展開する変数が $x+h$ となる。

$f(x+h)=f(x)+\frac{df(x)}{dx}((x+h)-x)+\frac{1}{2!}\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}((x+h)-x{)}^2+\frac{1}{3!}\frac{d^{3}f(a)}{d{x}^3}((x+h)-x{)}^3+\cdots$

ここで、$((x+h)-x)$ を簡略化すると、$(x+h)-x=h$ となる。

したがって、展開式は次式となる。
$f(x+h)=f(x)+\frac{df(x)}{dx}h+\frac{1}{2!}\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}{h}^2+\frac{1}{3!}\frac{d^{3}f(a)}{d{x}^3}{h}^3+\cdots$

このように、$(x-a)$ の項がhのみとなる理由を以下に示す。

• 展開の中心点をxとしている。
• 展開する点が $(x+h)$ である。
• これらの差分を取るとhになる。

この上式は、数値計算において、導関数の数値近似を考える場合によく使用されている。

マクローリン級数展開の意味 （近似との関係）

$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\log (1+x)$ 等のマクローリン級数展開は、不明な関数を整関数として考えることができる。

この無限級数において、途中で打ち切り有限個とする場合、次式のように考えることができる。

$e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\cdots$
$e^x\cong 1+x$
$e^x\cong 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$

上記のような操作を近似と呼ぶ。
ただし、これは正確な値に近づける操作に過ぎないため、$=$ で等式化することができない。

具体例

指数関数や三角関数をマクローリン級数展開すると次のようになる。 これらの関数が単純な和で表現できるのは、これらの収束半径は無限大だからである。つまり、xの値にかかわらず、常に成り立つ関係である。
$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots$
$\sin x=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots$
$\cos x=\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots$

指数関数の逆関数である対数関数において、logxに0を代入することはできないので、原点を少しずらして、次のような関数ならば0の周りで展開できる。
$\log (x+1)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3-\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{1}{5!}{x}^5-\cdots$

多変数関数のテイラー級数展開

多変数関数についても似たような定理が成り立っている。
まず、2変数関数f(x,y)のテイラー級数展開は次のようになる。
$\begin{array}{rl}f(x+a,y+b)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}{)}^{n}f(x,y)\\ & =f(x,y)\\ & +(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y})f(x,y)\\ & +\frac{1}{2!}(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}{)}^{2}f(x,y)\\ & +\frac{1}{3!}(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}{)}^{3}f(x,y)\end{array}$

次に、3変数関数f(x,y,z)の場合も同様の関係が成り立っており、次のようになる。
$f(x+a,y+b,z+c)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}+c\frac{\partial }{\partial z}{)}^{n}f(x,y)$