ガウス積分

概要

ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。
積分範囲が $\infty$ に及ぶため、広義積分である。

極座標の広義積分

$\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y D = {(x, y) | 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq \infty, - \infty \leq x \leq \infty, - \infty \leq y \leq \infty}$

直交直線座標から円座標への変換

直交直線座標 $(x, y)$ から円座標 $(r, θ)$ への変換は次式で与えられる。
${\begin{cases} x & = r \cos θ \\ y & = r \sin θ \end{cases}$

ヤコビアン

2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算して $d x d y$ と $d r d θ$ の関係式を求める必要がある。
$\begin{aligned} J & = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} \cos θ & - r \sin θ \\ \sin θ & r \cos θ \end{matrix} | \\ = r \cos^{2} θ + r \sin^{2} θ \\ = r \end{aligned}$
したがって、 $d x d y = r d r d θ$ となる。

求め方

円が含まれる場合は、極座標変換 $x = r \cos θ, y = r \sin θ (r \geq 0, 0 \leq θ \leq 2 π)$ とおく。
変換後の積分範囲D'は、 $D^{'} = {(r, θ) | 0 \leq r \leq \infty, 0 \leq θ \leq 2 π}$ の形に変形でき、2重積分を計算することができる。

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y \\ = & \iint_{D^{'}} e^{- r^{2} \cos^{2} θ - r^{2} \sin^{2} θ} r d r d θ \\ = & \iint_{D^{'}} e^{- r^{2}} r d r d θ ∵ \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 \\ = & \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r \\ = & 2 π \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r \dots (1) \end{aligned}$

ここで、 $t = r^{2}$ として変数変換を行う。
$\frac{d t}{d r} = 2 r$ より、 $\frac{1}{2} d t = r d r$ となる。
また、 $r = 0, r = \infty$ の時、積分範囲は次式となる。
${\begin{cases} r = 0 & ⟹ t = 0 \\ r = \infty & ⟹ t = \infty \end{cases}$

上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。
$\begin{aligned} π \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t \\ = & - π [e^{- t}]_{0}^{\infty} \\ = & - π (0 - 1) \\ = & π \end{aligned}$

ガウス積分

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

極座標における広義積分 $\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y = π$ より、次式のように分けることができる。
この時、積分変数の文字は何でもよい。

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y \dots (1) \end{aligned}$

(1)式より、次式のように考えることができる。
$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y \\ = & {(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2} = π \dots (2) \end{aligned}$

(2)式より、次式が求められる。
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$