ベクトル - ベクトル方程式

概要

ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y = 2 x + 1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル $P (\vec{p})$ の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。

直線のベクトル方程式

定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点  $A (\vec{a})$  を通り、 $\vec{0}$  でないベクトル  $\vec{d}$  に平行な直線のベクトル方程式
 $\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}$

点 $A (\vec{a})$ を通り、 $\vec{0}$ でないベクトル $\vec{d}$ に平行な直線をgとする。
点 $P (\vec{p})$ が直線g上にあるということは、 $\vec{A P} = t \vec{d}$ と表すことができる。

$\vec{A P} = \vec{p} - \vec{a}$ より、
$\vec{p} - \vec{a} = t \vec{d}$
$∴ \vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}$
と表すことができる。

この時、 $\vec{d}$ を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。

また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。
原点をO、点Aの座標を $A (x 1, y 1)$ 、直線g上の任意の点を $P (x, y)$ として、 $\vec{d} = (l, m)$ とする時、
ベクトル方程式は、次式となる。
$\begin{aligned} (x, y) & = (x_{1}, y_{1}) + t (l, m) \\ = (x_{1} + l t, y_{1} + m t) \end{aligned}$

${\begin{cases} x = x_{1} + l t \\ y = y_{1} + m t \end{cases}$

媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。

点  $(x_{1}, y_{1})$  を通り、 $\vec{d} = (l, m)$  が方向ベクトルである直線の方程式
 $m (x - x_{1}) - l (y - y_{1}) = 0$

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義

異なる2点  $A (\vec{a}), B (\vec{b})$  を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
 $\vec{p} = (1 - t) \vec{a} + t \vec{b}$ 
または
 $\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}, s + t = 1$

平面上の異なる2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を通る直線上に，点 $P (\vec{p})$ があることを考える。

この時、 $\vec{O P} = \vec{O A} + t \vec{A B}$ と表されるので、次式となる。
$\begin{aligned} \vec{p} & = \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ = (1 - t) \vec{a} + t \vec{b} \end{aligned}$

上式の方程式において、 $1 - t = s$ とおく時、次式としても表すことができる。
$\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$

例. $A (2, 1), B (3, 3)$ の時、直線ABの式は $y = 2 x - 3$ である。

P(x, y)として、ベクトルで考えると
$\begin{aligned} \vec{p} & = \vec{O A} + t \vec{A B} \\ (x, y) & = \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ = (2, 1) + t (1, 2) \\ = (t + 2, 2 t + 1) \end{aligned}$

したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。
${\begin{cases} x = t + 2 \\ y = 2 t + 1 \end{cases}$

上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 $y = 2 x - 3$ が成り立つことがわかる。

定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義

定点  $A (\vec{a})$  を通り、 $\vec{0}$  でないベクトル  $\vec{n}$  に垂直な直線のベクトル方程式
 $\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})$ 
（ $\vec{n}$  は直線の法線ベクトル）

下図に、定点 $A (\vec{a})$ を通り、ベクトル $\vec{n}$ に垂直な直線を示す。

点 $P (\vec{p})$ がこの直線上にあるということは、 $\vec{n} ⊥ \vec{A P}$ である。
内積を用いて表すと、次式となる。
$\vec{n} \cdot \vec{A P} = 0$
$∴ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$

例. 点 $A (2, 1), B (3, 3)$ 、直線ABの式 $y = 2 x - 3$ とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。

P(x, y) として、ベクトルで考える。
$\vec{A P} \cdot \vec{A} = 0$
$(\begin{matrix} x - 2 \\ y - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0$
$x - 2 + 2 y - 2 = 0$
$2 y = - x + 4$
$y = - \frac{1}{2} x + 2$

したがって、ベクトル方程式 $\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})$ を用いて、定点 $A (\vec{a})$ を通り、ベクトル $\vec{n}$ に垂直な直線を表すことができる。

ベクトルの終点の存在範囲

定義

ベクトルの終点の存在範囲の定義

 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O P} = \vec{p}, \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$  とする。（s、tは実数の変数）
s、tに条件がある時，次のような図形を表す。

直線AB
 ${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \end{cases}$ 

線分AB
 ${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \\ s \geq 0 \\ t \geq 0 \end{cases}$ 

 $△ O A B$  の周と内部
 ${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \leq s + t \leq 1 \\ s \geq 0 \\ t \geq 0 \end{cases}$ 

平行四辺形OACBの周と内部
 ${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \leq s \leq 1 \\ 0 \leq t \leq 1 \end{cases}$

直線AB

異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 $P (\vec{p})$ が次式を満たしながら動く時、点 $P (\vec{p})$ の存在範囲は直線ABとなる。

${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \end{cases}$

線分AB

点 $P (\vec{p})$ の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。

$t = 0 (s = 1)$ の時、点 $P (\vec{p})$ は、点 $A (\vec{a})$ と一致する。
$t = 0.5 (s = 0.5)$ の時、点 $P (\vec{p})$ は、線分ABの中点に位置する。
$t = 1 (s = 0)$ の時、点 $P (\vec{p})$ は、点 $B (\vec{b})$ と一致する。

つまり、 $0 \leq t \leq 1 (0 \leq s \leq 1)$ の時、線分ABを表現することができる。

${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \\ s \geq 0 \\ t \geq 0 \end{cases} は、線分 AB を表す$

△OAB

例えば、 $s + t = 0.5$ の時、次式となり、
tを $0 \leq t \leq 0.5$ の範囲で変化させると、点Pは、下図(1)のように、線分ABに平行な線分A'B'上を動く。

$\begin{aligned} \vec{p} & = (0.5 - t) \vec{a} + t \vec{b} \\ = 0.5 \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ = 0.5 \vec{O A} + t \vec{A B} \end{aligned}$

そして、 $s + t$ を、 $0 \leq s + t \leq 1$ の範囲で変化させると、線分A'B'は、上図(2)のように、△OABの全体を動く。

したがって、
${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \leq s + t \leq 1 \\ s \geq 0 \\ t \geq 0 \end{cases} は、 △ OAB の周と内部を表す$

平行四辺形OACB

例えば、 $s = 0.5$ の時、 $\vec{p} = 0.5 \vec{O A} + t \vec{O B}$ となり、
tを $0 \leq t \leq 1$ の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。

次に、sを $0 \leq s \leq 1$ の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。

したがって、
${\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \leq s \leq 1 \\ 0 \leq t \leq 1 \end{cases} は、平行四辺形 OACB の周と内部を表す$

円のベクトル方程式

中心がC，半径がrの円のベクトル方程式

中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義

3つの定点を  $A (\vec{a}), B (\vec{b}), C (\vec{c})$  、円周上の任意の点を  $P (\vec{p})$  とする。
 $| \vec{p} - \vec{c} | = r$ 
または
 $(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^{2}$

下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。

円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、 $C P = r$ である。
ベクトルで表すと、 $| \vec{C P} | = r より | \vec{p} - \vec{c} | = r$ である。

ゆえに、 $| \vec{p} - \vec{c} |^{2} = r^{2}$
したがって、 $(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^{2}$

また、 $C (a, b), P (x, y)$ として成分で表すと、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ であり、円の方程式となる。

例. 点C(3, 2)が中心で、点R(1, 1)が通る円

P(x, y)、O(0, 0)、C(3, 2)、R(1, 1)とする。
$| \vec{C P} | = | \vec{C R} |$
$| \vec{O P} - \vec{O C} | = | \vec{O R} - \vec{O C} |$

$O P = (x, y), O C = (3, 2), O R = (1, 1)$ より、
$| (x - 3, y - 2) | = | (- 2, - 1) |$
$\sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}} = \sqrt{5}$
$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$

したがって、円の方程式は、 $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ となる。

直径がABの円のベクトル方程式

円のベクトル方程式の定義 2

3つの定点を  $A (\vec{a}), B (\vec{b})$  、円周上の任意の点を  $P (\vec{p})$  とする。
 $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$

下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。

直径に対する円周角は直角であるから、 $A P ⊥ B P$ であり、 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = 0$ となる。
したがって、次式となる。
$(\vec{O P} - \vec{O A}) \cdot (\vec{O P} - \vec{O B}) = 0$
$∴ (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$

例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円
円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

$| \vec{C P} | = | \vec{C R} |$

$| \vec{O P} - \vec{O C} | = | \vec{O R} - \vec{O C} |$

$\vec{O P} = (x, y), \vec{O C} = (3, 2), \vec{O R} = (1, 1)$ より、

$| (x - 3, y - 2) | = | (- 2, - 1) |$

$\sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}} = \sqrt{5}$

$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$

したがって、 $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ となる。
例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

$\vec{A P} \cdot \vec{B P} = 0 ∵ \vec{A P} ⊥ \vec{B P}$

$(\vec{O P} - \vec{O A}) \cdot (\vec{O P} - \vec{O B}) = 0$

$\vec{O P} = (x, y), \vec{O A} = (2, 5), \vec{O B} = (4, 1)$ より、

$(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0$

$x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 13 = 0$

$(x - 3)^{2} - 9 + (y - 3)^{2} - 9 = - 13$

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$

したがって、 $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ となる。

円の接線のベクトル方程式

下図(1)のように、円の中心点 $C (\vec{c})$ 、円周上の接点を $P_{0} (\vec{p_{0}})$ とする時、接線上の点 $P (\vec{p})$ の位置ベクトルは、次式となる。

$\vec{P_{0} P} \cdot \vec{C P_{0}} = 0$
$(\vec{p} - \vec{p_{0}}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) = 0$

また、下図(2)より、 $| \vec{C P} | \cos θ = | \vec{C P_{0}} |$

両辺に、 $| \vec{C P_{0}} |$ を乗算すると、
$| \vec{C P} | | \vec{C P_{0}} | \cos θ = | \vec{C P_{0}} |^{2}$
$\vec{C P} \cdot \vec{C P_{0}} = r^{2}$

したがって、 $(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) = r^{2} (1)$ となる。

(1)式は、次のようにしても求めることができる。
$(\vec{p} - \vec{p_{0}}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) = 0$
$(\vec{p} - \vec{c} + \vec{c} - \vec{p_{0}}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) = 0$
これを展開する。
$\begin{aligned} (\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) & = (\vec{p_{0}} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) \\ = | \vec{p_{0}} - \vec{c} |^{2} \\ = r^{2} \end{aligned}$

点Pの位置ベクトルを $P (\vec{p}) = (x, y)$ 、円の中心Cの位置ベクトル $C (\vec{c}) = (a, b)$ 、接点P₀の位置ベクトル $P_{0} (\vec{p_{0}}) = (x_{0}, y_{0})$ とする。
$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_{0}} - \vec{c}) = r^{2}$
$(x - a, y - b) \cdot (x_{0} - a, y_{0} - b) = r^{2}$
$(x_{0} - a) (x - a) + (y_{0} - b) (y - b) = r^{2}$

これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。

例. 円の中心 $C (1, 1)$ 、半径 $\sqrt{2}$ の円に、 $P (2, 2)$ で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。
$\vec{O C} = (1, 1), \vec{O A} = (2, 2), \vec{O P} = (x, y)$ とする。

$\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 0 ⟹ (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ より、

$(x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0$

$∴ y = - x + 4$