応用数学 - 特殊関数

概要

• 誤差関数について理解する。
• ガンマ関数について理解する。
• 単位階段関数について理解する。
• デルタ関数について理解する。
• 双曲線関数について理解する。

特殊関数とは

特殊関数(special functions)とは、特定の分野で何らかの名前や記法が定着している関数のことを指す。
何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しない。

しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベッセル関数、ゼータ関数等がある。

特殊関数という用語は、初等関数の対義語ではない。
ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。

• ラプラス変換で扱う特殊関数

  ラプラス変換では、以下のような特殊関数を扱う。

  1. 誤差関数(ガウスの誤差関数)
  2. ガンマ関数(オイラーのガンマ関数)
  3. 単位階段関数(ヘビサイドの単位階段関数)
  4. デルタ関数(ディラクの衝撃関数)

誤差関数

定義1:
以下の式で定義された関数erf(t)を誤差関数(error function)という。
$erf(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

定義2:
以下の式で定義された関数erfc(t)を相補誤差関数(complementary error function)という。
$erfc(t)=1-erf(t)$

図. 誤差関数のグラフ

誤差関数は、ガウスの誤差関数(Gauss errorfunction)とも呼ばれる。
ガウスの誤差関数 : $erf\left(\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\right)$

誤差関数には、以下のような特徴がある。

• 誤差関数は奇関数である。
• 測定値が正規分布になっていて、標準偏差が $\sigma$ 、平均が $0$ の場合、1つの測定値の誤差が $-a$ と $a$ の間になる確率は以下で与えられる。