応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

$\frac{dy}{dx}$の扱い

以下の命題は、$\frac{dy}{dx}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
$\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx=\int g(y)dy$

証明.
$y=\varphi (x)$ とおいて、両辺をxで微分すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{d\varphi }{dx}$
置換積分の公式より、$\int g(y)dy=\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx$
$y=\varphi (x)$ より、
$\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx=\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx$

命題2.
$g(y)dy=f(x)dx\Rightarrow \int g(y)dy=\int f(x)dx$

証明.
$g(y)dy=f(x)dx$ の両辺をdxで除算して、本来の記号 $\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

両辺をxで積分すると次式となる。
$\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx=\int f(x)dx$

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
$\int g(y)dy=\int f(x)dx$

命題3.
$f(x)dx+g(y)dy=0\Rightarrow \int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

証明.
$f(x)dx+g(y)dy=0$ の両辺をdxで除算して、本来の記号$\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)=0$

この両辺をxで積分すると次式となる。
$\begin{array}{rl}\int f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =0\\ \int f(x)dx+\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =C\end{array}$

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
$\int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• $\frac{dy}{dx}=f(x)h(y)\because h(y)=\frac{1}{g(y)}$

• 変数分離形の例

  $\frac{dy}{dx}=2xy$

  $\frac{dy}{dx}=(x^2+1)(y+\frac{1}{y})$

  
  

• 変数分離形ではない例

  $\frac{dy}{dx}=2x+3y$

  $\frac{dy}{dx}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=x$

解答.
$\begin{array}{rl}dy& =xdx\\ \int dy& =\int xdx\\ y& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=y$

解答.
$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}dy& =dx\\ \int \frac{1}{y}dy& =\int dx\\ \ln |y|& =x+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ |y|& =e^{x+C}\\ y& =\pm e^C{e}^x\\ y& =C{e}^x\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
$\begin{array}{rl}\int ydy& =\int xdx\\ \frac{1}{2}{y}^2& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ y^2& =x^2+2C\\ y^2& =x^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
$xdx-(1+x^2)dy=0$

解答.
$dy=\frac{x}{1+x^2}$ とおく。
$\begin{array}{rl}\int dy& =\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ y& =\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\\ y& =\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ \end{array}$

同次形微分方程式

$\frac{dy}{dx}$ が $\frac{y}{x}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

$u=\frac{y}{x}$ とおけば、$y=ux$ より、積の微分公式を使用して、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$ となる。
これを、$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=f(u)$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

• $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$
• $\frac{dy}{dx}=2{\left(\frac{y}{x}\right)}^3+\frac{y}{x}$
• $\frac{dy}{dx}=\frac{(x+y)}{(x-y)}\Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

例題.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$

解答.
$\frac{y}{x}=u$ とおくと、$y=ux$
積の微分公式より、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$

これを微分方程式に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=u+1$ となり、各項を計算すると、$\frac{du}{dx}x=1$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$ であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
$\begin{array}{rl}\int \frac{du}{dx}dx& =\int \frac{1}{x}dx\\ \int du& =\int \frac{1}{x}dx\\ u& =\ln |x|+C\end{array}$

$u=\frac{y}{x}$ であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
$\frac{y}{x}=\ln |x|+C$

したがって、一般解は、
$y=x(\ln (|x|)+C)\text{( C : 任 意 定 数 )}$

1階線形微分方程式

1階線形微分方程式とは

$f(x),g(x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)\cdots (1)$

上式(1)の中で、$g(x)=0$ の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=0\cdots (2)$

上式(1)の中で、$g(x)\ne 0$ の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。

同次方程式は、変数分離形の方程式となる。

理由.
$\frac{dy}{dx}+f(x)y=0\text{( 同 次 方 程 式 )}$ を記述し直すと、
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-f(x)(y\ne 0)$ となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。

• まとめ:

• 同次方程式(変数分離形)

  $\frac{dy}{dx}+f(x)y=0$

• 非同次方程式

  $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)(g(x)\ne 0)$

1階線形微分方程式の例

• $\frac{dy}{dx}+y=x$
• $\frac{dy}{dx}+3x^{2}y=5x^2$
• $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\sin x$

1階線形微分方程式ではない例

• $y^n(n\ge 2)$ の項があるものは、非線形である。

例. $\frac{dy}{dx}+2xy=2x{y}^4$ (ベルヌーイ形の微分方程式)

1階線形微分方程式の一般解

定理
1階線形微分方程式 $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)$ の一般解は、以下の公式で表される。
$y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}\text{( C : 任 意 の 定 数 ) }$

ここで、$h(x)=e^{\int f(x)dx}$
$\int f(x)dx$ は $f(x)$ の原始関数の1つ

上式にある $h(x)$ を積分因子(integrating factor)という。

1階線形微分方程式の一般解の証明

1階線形微分方程式 $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)\cdots (1)$ の両辺に $h(x)=e^{\int f(x)dx}\cdots (2)$を乗算すると、次式が得られる。
$\begin{array}{rl}(\frac{dy}{dx}+f(x)y)h(x)& =g(x)h(x)\\ \frac{dy}{dx}h(x)+y(f(x)h(x))& =g(x)h(x)\cdots (3)\end{array}$

ここで、$f(x)h(x)=\frac{dh(x)}{dx}$ である。
なぜなら、上式(2)において、$u=\int f(x)dx$ とおくと、$h(x)=e^u$ であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。
$\begin{array}{rl}\frac{dh(x)}{dx}& =\frac{d{e}^u}{dx}\frac{du}{dx}\\ & =e^u\frac{d}{dx}\{\int f(x)dx\}\\ & =f(x)e^u\\ & =f(x)h(x)\end{array}$

したがって、$f(x)h(x)=\frac{dh(x)}{dx}$ を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、$\frac{dy}{dx}h(x)+y\frac{dh(x)}{dx}=g(x)h(x)$
さらに、積の微分公式より、$\frac{d}{dx}(yh(x))=g(x)h(x)\cdots (4)$ となる。

上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。
$yh(x)=\int g(x)h(x)dx+C$

したがって、一般解は次式で表される。
$y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$
QED.

1階線形微分方程式の例題

例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
$x\frac{dy}{dx}+y=2x$

解答.
両辺をxで割ると、$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=2$ より、
$f(x)=\frac{1}{x},g(x)=2$ となる。

積分因子 $h(x)$ を求める。
$h(x)=e^{\int f(x)dx}=e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln (|x|)}=|x|\cdots (2)$

上記の式を $y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}$ に代入すると、
$y=\frac{1}{|x|}\{\int 2|x|dx+C\}$

ここで、$|x|=\pm x$ より、
$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{\pm x}\{\int 2(\pm )xdx+C\}\\ & =\frac{1}{x}\{\int 2xdx+C\}\\ & =\frac{1}{x}(x^2+C)\\ & =x+\frac{C}{x}\end{array}$

ゆえに、一般解は次式となる。
$y=x+\frac{C}{x}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$