ベクトル - ベクトル方程式

概要

ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y=2x+1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル $P(\overrightarrow{p})$ の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。

直線のベクトル方程式

定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{d}$ に平行な直線のベクトル方程式

定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{0}$ でないベクトル $\overrightarrow{d}$ に平行な直線のベクトル方程式
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$

点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{0}$ でないベクトル $\overrightarrow{d}$ に平行な直線をgとする。
点 $P(\overrightarrow{p})$ が直線g上にあるということは、$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{d}$ と表すことができる。

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}$ より、
$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=t\overrightarrow{d}$
$\therefore \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$
と表すことができる。

この時、$\overrightarrow{d}$ を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。

また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。
原点をO、点Aの座標を $A(x1,y1)$、直線g上の任意の点を $P(x,y)$ として、$\overrightarrow{d}=(l,m)$ とする時、
ベクトル方程式は、次式となる。
$\begin{array}{rl}(x,y)& =(x_1,y_1)+t(l,m)\\ & =(x_1+lt,y_1+mt)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=x_1+lt\\ y=y_1+mt\end{array}$

媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。

点 $(x_1,y_1)$ を通り、$\overrightarrow{d}=(l,m)$ が方向ベクトルである直線の方程式
$m(x-x_1)-l(y-y_1)=0$