数列 - 等差数列・等比数列・階差数列

階差数列

基本

元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。
$a_n=a_{n+1}-a_n$ と表す。

第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。

例:

原数列:  2, 5, 10, 17, 26, 37
第1階差:  3,  5,  7,  9,  11
第2階差:     2,  2,  2,  2

性質

等差数列の第1階差数列は、定数列になる。
等比数列の第1階差数列は、元の数列の定数倍になる。
n次式で表される数列の第n階差数列は、定数列になる。

活用方法

• 数列のパターンを見つける場合
• 与えられた数列が何次式で表されるかを判断できる。
• 数列の一般項を求める場合のヒントになる。

応用例

数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。
これは、$a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma$ の形で表される。

計算により、
$b_n=3+2(n-1)=2n+1$
$\begin{array}{rl}{a}_n& =a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k\\ & =2+\sum _{k=1}^{n-1}2n+1)\\ & =2+2\sum _{k=1}^{n-1}n+\sum _{k=1}^{n-1}1\\ & =2+2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+(n-1)\\ & =2+n(n-1)+n-1\\ & =n^2+1\end{array}$

したがって、$a_n=n^2+1$ と求められる。

階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。