ベクトル - 位置ベクトル

概要

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $O A : A X = 3 : 2$ であるとする。
この時、 $\vec{O X}$ は、 $\vec{O A}$ を伸縮することによって表すことができ、 $\vec{O X} = \frac{5}{3} \vec{O A}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル $\vec{A C}$ が $\vec{A B}$ を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、 $\vec{A C} = k \vec{A B}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある  $⟺ \vec{A C} = k \vec{A B}$  となる実数kが存在する

例. $\vec{O P} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}, \vec{O Q} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b}, \vec{O R} = \vec{a} + 10 \vec{b}$ の時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明する。

$\vec{P Q} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = \vec{a} - 7 \vec{b}$
$\vec{P R} = \vec{a} + 10 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = - \vec{a} + 7 \vec{b}$
$\vec{P R} = - \vec{P Q}$ が成り立つ。
ゆえに、3点P、Q、Rは一直線上にある。

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。

$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m + n}) \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n}{m + n} \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{aligned}$

内分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、  $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$  と表すことができる。

この式 $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$ の分子 $n \vec{a} + m \vec{b}$ は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。

$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m - n}) \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n}{m - n} \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m - n} \\ = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{aligned}$

外分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$  と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、 $\vec{x} = \frac{- (- n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}$ とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

ベクトルの垂直条件

0ではない2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角が90度の時、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直(perpendicular)であるといい、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ と表す。
また、 $\vec{0}$ は、全てのベクトルに対して垂直と定める。

この時、 $\vec{a}, \vec{b}$ の内積は、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 9 0^{\circ} = 0$ となる。
これは、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ といえる。
つまり、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ である。

また、成分表示された2つのベクトル $\vec{a} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{b} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$ が垂直である時、
$(\binom{a_{x}}{a_{y}}) \cdot (\binom{b_{x}}{b_{y}}) = 0 ⟺ a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} = 0$ が成り立つ。

ベクトルの垂直条件

 $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$  であり、 $\vec{a} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{b} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$  とする。
 $\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ⟺ a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} = 0$

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n} \\ = \frac{n}{m + n} \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \end{aligned}$
上式に、 $\vec{O A} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{O B} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$ を用いると次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{n}{m + n} (\binom{a_{x}}{a_{y}}) + \frac{m}{m + n} (\binom{b_{x}}{b_{y}}) \\ = \frac{1}{m + n} (\binom{n a_{x}}{n a_{y}}) + \frac{1}{m + n} (\binom{m b_{x}}{m b_{y}}) \\ = \frac{1}{m + n} (\binom{n a_{x} + m b_{x}}{n a_{y} + m b_{y}}) \end{aligned}$
したがって、点Xの座標は $(\frac{n a_{x} + m b_{x}}{m + n}, \frac{n a_{y} + m b_{y}}{m + n})$ となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O Y} & = \frac{- n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m - n} \\ = \frac{- n}{m - n} \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \end{aligned}$
これに、 $\vec{O A} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{O B} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$ を用いると次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{- n}{m - n} (\binom{a_{x}}{a_{y}}) + \frac{m}{m - n} (\binom{b_{x}}{b_{y}}) \\ = \frac{1}{m - n} (\binom{- n a_{x}}{- n a_{y}}) + \frac{1}{m - n} (\binom{m b_{x}}{m b_{y}}) \\ = \frac{1}{m - n} (\binom{- n a_{x} + m b_{x}}{- n a_{y} + m b_{y}}) \end{aligned}$
したがって、点Yの座標は、 $(\frac{- n a_{x} + m b_{x}}{m - n}, \frac{- n a_{y} + m b_{y}}{m - n})$ となる。

例題2. 3点が一直線上にある条件

△ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。

$\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ とおくと、 $\vec{A Q} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{3 - 1} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{2}$ と表すことができる。

したがって、
$\begin{aligned} \vec{P Q} & = \vec{A Q} - \vec{A P} = - \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c} \\ \vec{P R} & = \vec{A R} - \vec{A P} = - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c} \end{aligned}$

以上より、 $\vec{P R} = \frac{2}{5} \vec{P Q}$ であり、P、Q、Rは同一直線上にある。

例題3. 重心の位置ベクトル

重心の定義

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線(中線)は1点で交わり、その交点を三角形の重心という。
重心は、3つの中線それぞれを2:1に内分する。

△ABCの重心をGとする。

1.  $\vec{A G}$  を  $\vec{A B}$  と  $\vec{A C}$  を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、 $A (\vec{a}), B (\vec{b}), C (\vec{c})$  となるとき、重心の位置ベクトル $G (\vec{g})$  を  $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$  で表せ。

1の解答

辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より $B M : C M = 1 : 1$ であるから、 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ となる。
また、重心の性質より、 $A G : G M = 2 : 1$ であるから、次式が求められる。

$\begin{aligned} \vec{A G} & = \frac{2}{3} \vec{A M} \\ = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) \\ = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} \end{aligned}$

したがって、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ となる。

2の解答

$\vec{O G} = \vec{O A} + \vec{A G}$ であるから、次式が求められる。

$\begin{aligned} \vec{O G} & = \vec{a} + \vec{A G} \\ = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} ∵ \vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} \\ = \vec{a} + \frac{1}{3} (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{1}{3} (\vec{c} - \vec{a}) \\ = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \end{aligned}$

例題4. 外心の位置ベクトル

 $A B = 3, B C = 7, C A = 5$  である△ABCがある。

 $\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}, △ A B C の 外 心 を O$  とする時、以下の問いに答えよ。

1.  $\vec{b} \cdot \vec{c}$  を求めよ。
2.  $\vec{A O}$  を  $\vec{b}$  と  $\vec{c}$  を用いて表せ。

1の解答

$△ A B C$ に $∠ A$ から余弦定理を用いる。
余弦定理 : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos θ$
ベクトルの内積 : $\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos θ = | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ$

$\begin{aligned} | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ & = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2} \\ = \frac{9 + 25 - 49}{2} \\ = - \frac{15}{2} \end{aligned}$

したがって、 $\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ = - \frac{15}{2}$

2の解答

$\vec{A O} = x \vec{b} + y \vec{c}$ とおく。 $\vec{D O}$ と $\vec{A B}$ は直交するため、
$\vec{D O} \cdot \vec{A B} = 0$
$\Leftrightarrow (\vec{A O} - \vec{A D}) \cdot \vec{A B} = 0$
$\Leftrightarrow (x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$
$\Leftrightarrow (x - \frac{1}{2}) {| \vec{b} |}^{2} + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$
$\Leftrightarrow 9 (x - \frac{1}{2}) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$
$\Leftrightarrow 9 (x - \frac{1}{2}) - \frac{15}{2} y = 0$
$\Leftrightarrow 18 x - 15 y = 9$
$\Leftrightarrow 6 x - 5 y = 3 (1)$

また、 $\vec{E O}$ と $\vec{A C}$ は直交するため、
$\vec{EO} \cdot \vec{AC} = 0$
$\Leftrightarrow (\vec{A O} - \vec{A E}) \cdot \vec{A C} = 0$
$\Leftrightarrow (x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$
$\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + (y - \frac{1}{2}) {| \vec{c} |}^{2} = 0$
$\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 (y - \frac{1}{2}) = 0$
$\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 (y - \frac{1}{2}) = 0$
$\Leftrightarrow - 15 x + 50 y = 25$
$\Leftrightarrow - 3 x + 10 y = 5 (2)$

式(1)，(2)を連立すると、
${\begin{cases} 6 x - 5 y & = 3 \\ - 3 x + 10 y & = 5 \end{cases} より {\begin{cases} x & = \frac{11}{9} \\ y & = \frac{13}{15} \end{cases}$

したがって、 $\vec{A O} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}$ となる。

例題5. 内心の位置ベクトル

内心の定義

三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。
内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。

 $A B = c, B C = a, C A = b$  である△ABCの内心をIとする。

1.  $\vec{A I}$  を  $\vec{A B}$  と  $\vec{A C}$  を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、 $A (\vec{a}), B (\vec{b}), C (\vec{c})$  となる時、内心の位置ベクトル $I (\vec{i})$  を  $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$  で表せ。

1の解答

直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より $∠ B A D = ∠ C A D$ である。
角の二等分線の定理より、 $B D : D C = c : b$ となるから、 $\vec{A D}, \vec{B C}$ は次式となる。
$\vec{A D} = \frac{b}{b + c} \vec{A B} + \frac{c}{b + c} \vec{A C}$
$\vec{B D} = \frac{c}{b + c} \times a = \frac{a c}{b + c}$

また、内心の定義より、 $∠ A B I = ∠ D B I$ である。
角の二等分線の定理より、次式となる。
$A I : I D = A B : B D$
$c : \frac{a c}{b + c} = b + c : a$

上式より、次式が求まる。
$\begin{aligned} \vec{A I} & = \frac{A I}{A D} \vec{A D} \\ = \frac{b + c}{a + b + c} \times (\frac{b}{b + c} \vec{A B} + \frac{c}{b + c} \vec{A C}) \\ = \frac{b}{a + b + c} \vec{A B} + \frac{c}{a + b + c} \vec{A C} \end{aligned}$

したがって、 $\vec{A I} = \frac{b}{a + b + c} \vec{A B} + \frac{c}{a + b + c} \vec{A C}$ となる。

2の解答

$\vec{O I} = \vec{O A} + \vec{A I}$ であるから、次式が求められる。
$\begin{aligned} \vec{O I} & = \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{A B} + \frac{c}{a + b + c} \vec{A C} ∵ \vec{A I} = \frac{b}{a + b + c} \vec{A B} + \frac{c}{a + b + c} \vec{A C} \\ = \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{c}{a + b + c} (\vec{c} - \vec{a}) ∵ \vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}, \vec{A C} = \vec{c} - \vec{a} \\ = \frac{a + b + c}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{c}{a + b + c} (\vec{c} - \vec{a}) \\ = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c} \end{aligned}$

したがって、 $\vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}$ となる。

例題6. 垂心の位置ベクトル

 $A B = 5, B C = 6, C A = 4$  である  $△ A B C$  がある。
 $\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}, △ A B C の 垂 心 を H$  とする時、以下の問いに答えよ。

1.  $\vec{b} \cdot \vec{c}$  を求めよ。
2.  $\vec{A H}$  を  $\vec{b}$  と  $\vec{c}$  を用いて表せ。

1の解答

$△ A B C$ に $∠ A$ から余弦定理を用いる。
余弦定理 : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B A C \cos θ$
ベクトルの内積 : $\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos θ = | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ$

$\begin{aligned} | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ & = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2} \\ = \frac{25 + 16 - 36}{2} \\ = - \frac{5}{2} \end{aligned}$

したがって、 $\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{A B} | | \vec{A C} | \cos θ = - \frac{15}{2}$

2の解答

$\vec{A H} = x \vec{b} + y \vec{c}$ とおく。 $\vec{C H}$ と $\vec{A B}$ は直交するため、
$\vec{C H} \cdot \vec{A B} = 0$
$\Leftrightarrow (\vec{A H} - \vec{A C}) \cdot \vec{A B} = 0$
$\Leftrightarrow (x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = 0$
$\Leftrightarrow x {| \vec{b} |}^{2} + (y - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$
$\Leftrightarrow 25 x + (y - 1) \frac{5}{2} = 0$
$\Leftrightarrow 25 x + \frac{5}{2} y = \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 10 x + y = 1 (1)$

また、 $\vec{B H}$ と $\vec{A C}$ は直交するため、
$\vec{B H} \cdot \vec{A C} = 0$
$\Leftrightarrow (\vec{A H} - \vec{A B}) \cdot \vec{A C} = 0$
$\Leftrightarrow (x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
$\Leftrightarrow (x - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} + y {| \vec{c} |}^{2} = 0$
$\Leftrightarrow (x - 1) \frac{5}{2} + 16 y = 0$
$\Leftrightarrow \frac{5}{2} x + 16 y = \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 5 x + 32 y = 5 (2)$

式(1)，(2)を連立すると、
${\begin{cases} 10 x + y & = 1 \\ 5 x + 32 y & = 5 \end{cases} より {\begin{cases} x & = \frac{3}{35} \\ y & = \frac{1}{7} \end{cases}$

したがって、 $\vec{A H} = \frac{3}{35} \vec{b} + \frac{1}{7} \vec{c}$ となる。