応用数学 - 広義積分と無限積分

極限の例題

例題:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x<1)\\ 0& (x\ge 1)\end{array}$
について、以下の極限を求めよ。

(1) $\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)$
(2) $\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$
(3) $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$
(4) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$
(5) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

解答:
(1)
xを正の方向から1に近づけた極限なので、
$\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=0$

(2)
xを負の方向から1に近づけた極限なので、
$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=1$

(3)
xを正と負の両方から近づけた極限である。
しかし、(1)(2)より、右側極限と左側極限は一致しない。
そのため、一定の値には収束しないので、
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ は値なし。

(4)
xを限りなく大きくしたときの極限なので、
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0\text{ 収 束 }$

(5)
xを限りなく小さくしたときの極限なので、
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\text{ 発 散 }$