応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

$\frac{dy}{dx}$の扱い

以下の命題は、$\frac{dy}{dx}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
$\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx=\int g(y)dy$

証明.
$y=\varphi (x)$ とおいて、両辺をxで微分すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{d\varphi }{dx}$
置換積分の公式より、$\int g(y)dy=\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx$
$y=\varphi (x)$ より、
$\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx=\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx$

命題2.
$g(y)dy=f(x)dx\Rightarrow \int g(y)dy=\int f(x)dx$

証明.
$g(y)dy=f(x)dx$ の両辺をdxで除算して、本来の記号 $\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

両辺をxで積分すると次式となる。
$\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx=\int f(x)dx$

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
$\int g(y)dy=\int f(x)dx$

命題3.
$f(x)dx+g(y)dy=0\Rightarrow \int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

証明.
$f(x)dx+g(y)dy=0$ の両辺をdxで除算して、本来の記号$\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)=0$

この両辺をxで積分すると次式となる。
$\begin{array}{rl}\int f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =0\\ \int f(x)dx+\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =C\end{array}$

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
$\int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• $\frac{dy}{dx}=f(x)h(y)\because h(y)=\frac{1}{g(y)}$

• 変数分離形の例

  $\frac{dy}{dx}=2xy$

  $\frac{dy}{dx}=(x^2+1)(y+\frac{1}{y})$

  
  

• 変数分離形ではない例

  $\frac{dy}{dx}=2x+3y$

  $\frac{dy}{dx}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=x$

解答.
$\begin{array}{rl}dy& =xdx\\ \int dy& =\int xdx\\ y& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=y$

解答.
$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}dy& =dx\\ \int \frac{1}{y}dy& =\int dx\\ \ln |y|& =x+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ |y|& =e^{x+C}\\ y& =\pm e^C{e}^x\\ y& =C{e}^x\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
$\begin{array}{rl}\int ydy& =\int xdx\\ \frac{1}{2}{y}^2& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ y^2& =x^2+2C\\ y^2& =x^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
$xdx-(1+x^2)dy=0$

解答.
$dy=\frac{x}{1+x^2}$ とおく。
$\begin{array}{rl}\int dy& =\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ y& =\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\\ y& =\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ \end{array}$

同次形微分方程式

$\frac{dy}{dx}$ が $\frac{y}{x}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

$u=\frac{y}{x}$ とおけば、$y=ux$ より、積の微分公式を使用して、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$ となる。
これを、$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=f(u)$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

• $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$
• $\frac{dy}{dx}=2{\left(\frac{y}{x}\right)}^3+\frac{y}{x}$
• $\frac{dy}{dx}=\frac{(x+y)}{(x-y)}\Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

例題.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$

解答.
$\frac{y}{x}=u$ とおくと、$y=ux$
積の微分公式より、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$

これを微分方程式に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=u+1$ となり、各項を計算すると、$\frac{du}{dx}x=1$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$ であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
$\begin{array}{rl}\int \frac{du}{dx}dx& =\int \frac{1}{x}dx\\ \int du& =\int \frac{1}{x}dx\\ u& =\ln |x|+C\end{array}$

$u=\frac{y}{x}$ であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
$\frac{y}{x}=\ln |x|+C$

したがって、一般解は、
$y=x(\ln (|x|)+C)\text{( C : 任 意 定 数 )}$