ベクトル - 位置ベクトル

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、$OA:AX=3:2$であるとする。
この時、$\overrightarrow{OX}$は、$\overrightarrow{OA}$を伸縮することによって表すことができ、$\overrightarrow{OX}=\frac{5}{3}\overrightarrow{OA}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル$\overrightarrow{AC}$が$\overrightarrow{AB}$を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある $⟺\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである$\overrightarrow{x}$は、$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{array}{rl}\overrightarrow{x}& =\overrightarrow{OX}\\ & =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\because \text{ベ ク ト ル の 分 解 }\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}\because \text{ベ ク ト ル の 伸 縮 }\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\because \text{始 点 を O に す る }\\ & =(1-\frac{m}{m+n})\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\\ & =\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\\ & =\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\end{array}$

内分点の位置ベクトル

2点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点$X(\overrightarrow{x})$において、$\overrightarrow{x}$は、 $\overrightarrow{x}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$ と表すことができる。

この式$\overrightarrow{x}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$ の分子 $n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである$\overrightarrow{x}$は、$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{array}{rl}\overrightarrow{x}& =\overrightarrow{OX}\\ & =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\because \text{ベ ク ト ル の 分 解 }\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{AB}\because \text{ベ ク ト ル の 伸 縮 }\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m-n}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\because \text{始 点 を O に す る }\\ & =(1-\frac{m}{m-n})\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{OB}\\ & =\frac{-n}{m-n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{OB}\\ & =\frac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}\\ & =\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\end{array}$

外分点の位置ベクトル

2点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点$X(\overrightarrow{x})$において、$\overrightarrow{x}$は、$\overrightarrow{x}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$ と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、$\overrightarrow{x}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、$\overrightarrow{x}=\frac{-(-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b})}{-(m-n)}=\frac{n\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}}{n-m}$とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。