極値

1変数関数の極値

極値の見つけ方

(微分可能な)関数$f(x)$が$x=a$で極値を取るならば、$\frac{df(a)}{dx}=0$である。
対偶を取れば、$\frac{df(a)}{dx}\ne 0$となる点は、必ずしも極値ではない。

$\frac{df(a)}{dx}=0$はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。

例えば、$f(x)=x^3$の導関数は、$\frac{df(x)}{dx}=3x^2$である。
$\frac{df(x)}{dx}=0$を解くと、$x=0$が極値点の候補として見つかるが、$f(x)=x^3$において$x=0$は極値点ではない。

これは、$x=\pm \frac{1}{10}$という点を考える時、$-\frac{1}{10^3}<f(0)<\frac{1}{10^3}$という関係が成り立つが、$f(0)$よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、$x=0$の近くにある。
0のどんなに近くにも$f(0)$より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。

極値の判定条件

2階微分できる関数$f(x)$が存在する時、$\frac{df(a)}{dx}=0$かつ$x=a$の前後で$\frac{df(x)}{dx}$の符号が変化するならば、関数$f(x)$は、$x=a$で極値をとる。

さらに、以下のように判定することができる。

• $\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}>0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極小値をとる。
• $\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}<0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極大値をとる。