応用数学 - 高階線形常微分方程式

概要

3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。

より高階の微分方程式 $\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}f(x)}{d{x}^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}f(x)}{d{x}^{n-2}}+\cdots +a_1\frac{df(x)}{dx}+a_{0}x=b(x)$ の形の常微分方程式を考える。

このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを正規形と呼ぶ。
$b(x)=0$ の時、同次方程式であるという。

2階線形常微分方程式ならば、 $\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}+a_1\frac{df(x)}{dx}+a_{0}x=b(x)$ である。

高階定数係数線形同次常微分方程式

n階定係数線形同次微分方程式 $\frac{d^{n}f(x)}{dx}+a_1\frac{d^{n-1}f(x)}{dx}+\cdots +a_{n-1}\frac{df(x)}{dx}+a_{n}f(x)=0$ の一般解は、
基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ を用いて、次式のように表現することができる。

$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n(C_i:\text{ 任 意 定 数 })$

n階定係数線形同次微分方程式の解全体は、n次元線形空間をつくる。

この方程式の基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ は、
この方程式の特性方程式 ${\lambda }_n+a_1{\lambda }_{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n=0$ を解くことによって求めることができる。

高階定数係数線形同次常微分方程式の例題

例題 1

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}-3\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2\frac{dy}{dx}=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
${\lambda }^3-3{\lambda }^2+2\lambda =0$

これを解くと、 $\lambda ({\lambda }^2-3\lambda +2)=0$ より、 $\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)=0$ より、 $\lambda =0,1,2$ となる。

これより、基本解は $(1,e^x,e^{2x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_1+C_2{e}^x+C_3{e}^{2x}(C_i:\text{ 任 意 定 数 })$

例題 2

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}-2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-\frac{dy}{dx}+2y=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
${\lambda }^3-2{\lambda }^2-\lambda +2=0$

これを解くと、 ${\lambda }^2(\lambda -2)-(\lambda -2)=0$ より、
$\begin{array}{lc}({\lambda }^2-1)(\lambda -2)& =0\\ (\lambda +1)(\lambda -1)(\lambda -2)=0\end{array}$
より、 $\lambda =-1,1,2$ となる。

これより、基本解は $(e^{-x},e^x,e^{2x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x+C_3{e}^{2x}(C_i:\text{ 任 意 定 数 })$

例題 3

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}+2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{dy}{dx}=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
${\lambda }^3+2{\lambda }^2+\lambda =0$

これを解くと、 $\lambda (\lambda +1{)}^2=0$ より、
$\lambda =0,\lambda =-1(\text{ 重 解 })$
となる。

これより、基本解は $(1,e^{-x},x{e}^{-x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_1+C_2{e}^{-x}+C_{3}x{e}^{-x}(C_i:\text{ 任 意 定 数 })$

例題 4

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}+3\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3\frac{dy}{dx}+y=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
${\lambda }^3+3{\lambda }^2+3\lambda +1=0$

これを解くと、 $(\lambda +1{)}^3=0$ より、
$\lambda =-1(\text{ 3 重 解 })$ となる。

これより、基本解は $(e^{-x},x{e}^{-x},x^2{e}^{-x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。
$y=C_1{e}^{-x}+C_{2}x{e}^{-x}+C_3{x}^2{e}^{-x}(C_i:\text{ 任 意 定 数 })$