線積分

概要

高校で学習する積分では、積分範囲が数直線の上に乗っていた。
つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグラフの曲線とx軸とに挟まれた領域の面積を求めるというのが高校で学習する積分である。

2変数関数h(x,y)を考える。
この関数は土地の起伏を表しているようなイメージである。地図上の位置を(x,y)で指定すると、h(x,y)がその地点の標高を返すと考えれば理解しやすい。
この関数h(x,y)を積分する。積分範囲は、このxy平面の上を走る自由な曲線コースとする。
自由な曲線コースの上を進みながら積分する、これが線積分である。
もちろん、それを計算するためには、その曲線を具体的に指定しなければならない。

まずは、イメージを説明する。
積分コースに沿ってうねるように立てられた衝立(ついたて)のようなものを考える。
この衝立の高さはその地点でのh(x,y)を意味している。
線積分で計算したいのはこの衝立の面積である。

スカラー場の線積分の計算方法

計算の基礎

xy平面上を走る曲線レールを細かく分割すると、その1つ1つはほぼ直線だとみなせる。
その微小な長さと、その近くでのh(x,y)の値とを掛け合わせたものを考えれば、それは衝立を微小な短冊状に切ったものの面積を表すことになる。
それらを全て加算すれば、望むものが得られる。

この計算をするには、コースの形がtの関数になったx(t)とy(t)で表されていると都合が良い。
コースのスタート地点が(x(a),y(a))であり、ゴール地点が(x(b),y(b))であり、a≦t≦bであるようなtによって(x(t),y(t))で示されるようにする。
(変数tは時刻であるかのようなイメージである)

時刻tからt+Δtまでの微小時間Δt内にコース上の点が動く距離を考える。
最初(x(t),y(t))にあった点が(x(t+Δt),y(t+Δt))にまで移動することになる。微小な時間だから、ほぼ直線的に移動したものと考える。
すると移動距離Δlは三平方の定理により、次式のように表せる。
$Δ l = \sqrt{(x (t + Δ t) - x (t))^{2} + (y (t + Δ t) - y (t))^{2}}$

また、ほぼ直線的に変化しているので、 $x (t + Δ t) - x (t) は \frac{d x}{d t} Δ t, y (t + Δ t) - y (t) は \frac{d y}{d t} Δ t$ と近似できる。
$\begin{aligned} Δ l & = \sqrt{{(\frac{d x}{d t} Δ t)}^{2} + {(\frac{d y}{d t} Δ t)}^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} Δ t \end{aligned}$

ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。
$d l = \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$

dlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。(dtとは、1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である)
x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。
この地点での $h (x, y)$ の値は、tの時と $t + d t$ の時とでほとんど同じ値なので、 $h (x (t), y (t))$ を使用する。

次のようにすれば、線積分の計算ができる。
$\int_{a}^{b} h (x (t), y (t)) \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$

例題. 1

経路Cが以下のC₁、C₂のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。
 $\int_{C} (2 x + y) d x + (x - y) d y$ 

1. C1 : 点A(0, 0)から点B(1, 1)へ直線  $y = x$  に沿う経路
2. C2 : 点A(0, 0)から点B(1, 1)へ放物線  $y = x^{2}$  に沿う経路

$\int_{C} (2 x + y) d x + (x - y) d y = \int_{C} (2 x + y) d x + \int_{C} (x - y) d y$ である。

1.では、 $\frac{d y}{d x} = 1 より d y = d x$ となるが、 $y = x$ のため、第2項は $(x - y) = (x - x) = 0$ となる。
$\begin{aligned} \int_{C} (2 x + y) d x + (x - y) d y & = \int_{C} (2 x + y) d x \\ = \int_{0}^{1} 3 x d x \\ = 3 [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}$

2.では、 $\frac{d y}{d x} = 2 x より d y = 2 x d x$ である。
$\begin{aligned} \int_{C} (2 x + y) d x + (x - y) d y & = \int_{0}^{1} (2 x + x^{2}) d x + \int_{0}^{1} (x - x^{2}) 2 x d x \\ = [x^{2} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + 2 [\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1} \\ = (1 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) \\ = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}$

上記ではスカラー関数として考えてきたが、見方を変えてみる。
変位ベクトル $\vec{r} = ⟨ d x, d y ⟩$ とベクトル場 $\vec{F} = ⟨ 2 x + y, x - y ⟩$ を考える時、上記の線積分はベクトルの内積を用いて以下のように記述できる。
$\int_{C} (2 x + y) d x + (x - y) d y = \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}$
$\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$ (渦なし)の時、線積分は経路によらず始点と終点で決まる。

上記の例では、 $(\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 x + y \\ x - y \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{\partial (2 x + y)}{\partial z} \\ \frac{\partial (x + y)}{\partial z} \\ \frac{\partial (x - y)}{\partial x} - \frac{\partial (2 x + y)}{\partial y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) となり、$ 渦なしの条件を満たしているため、
1.および2.の2通りの線積分において、同様の計算結果となる。

線積分の制約

上記で説明した線積分の公式の中には、x(t)とy(t)を微分したものが出てくる。
ということは、x(t)とy(t)とはどちらも滑らかでないと微分ができない。
しかし、幾つかの地点で微分ができない場合は、そこでコースを分割して別々に計算して、後で足し合わせればよい。

3次元の線積分

上記の線積分を3次元に拡張することは簡単である。

3変数関数U(x,y,z)を考え、3次元空間を自由に飛び回るコースで積分する。
要するに、3次元を走る微小な長さと、その近くでのU(x,y,z)の値とを掛けせたものを端から端までの和をとる。

考え方は上記と同様で、次のようにする。
$\int_{a}^{b} U (x (t), y (t), z (t)) \sqrt{(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} + {\frac{d z}{d t}}^{2}} d t$

ベクトル場の線積分の計算

計算の基礎

$\vec{F} = F_{1} (x, y, z) \vec{i} + F_{2} (x, y, z) \vec{j} + F_{3} (x, y, z) \vec{k}$ のベクトル空間内の2点AからBを結ぶ曲線経路Cがある。

この曲線上で、ベクトル $\vec{F}$ の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数 $F_{t} (s)$ を考える。(sはAからの孤の長さである)
※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。

$F_{t} (s)$ の線積分は、次式となる。
$\int_{C} F_{t} (s) d s$

$F_{t} (s)$ は、曲線経路Cの単位接線ベクトル $\vec{t} (s)$ とベクトル $\vec{F}$ の内積として求まるため、以下のように記述できる。
$\int_{C} F_{t} (s) d s = \int_{C} \vec{F} \cdot \vec{t} d s$

この量をベクトル $\vec{F}$ の線積分(接線線積分)という。
曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、 $\vec{r} (s) = x (s) \vec{i} + y (s) \vec{j} + z (s) \vec{k}$ と表すと、
単位接線ベクトル $\vec{t}$ は、 $\vec{t} = \frac{d \vec{r}}{d s}$ となる。
ただし、 $d \vec{r}$ は、曲線経路Cを細かく分割した微小ベクトルであり、線素ベクトルと呼ばれる。

したがって、ベクトル $\vec{F}$ の線積分は、以下のようにも記述できる。
$\begin{aligned} \int_{C} \vec{F} \cdot \vec{t} d s & = \int_{C} \vec{F} \cdot \frac{d \vec{r}}{d s} d s \\ = \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} \end{aligned}$

記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。

例題.1

ベクトル関数 $\vec{F} (x, y) = - 3 x^{2} \vec{i} + 5 x y \vec{j}$ について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。

ただし、経路Cは放物線 $y = 2 x^{2}$ の(0, 0)から(1, 2)に沿う曲線とする。
 $\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}$

まず、経路Cをパラメータtで表示する。つまり、xやyをtの関数として記述する。
線積分を行う経路となる経路Cは放物線 $y = 2 x^{2}$ の(0, 0)から(1, 2)である。
$t = x$ とすると、 $0 \leq t \leq 1$ で $y = 2 t^{2}$ である。
「経路Cについて考える」ということは、「xとyが経路Cの方程式を満たす」ということである。

したがって、xとyはtの関数として以下のように記述できる。
$\begin{aligned} x (t) & = t (0 \leq t \leq 1) \\ y (t) & = 2 t^{2} \end{aligned}$

よって、xとyをtでそれぞれ微分すると以下のようになる。
$\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & = 1 より d x = d t \\ \frac{d y}{d t} & = 4 t より d y = 4 t d t \end{aligned}$

式を変形するときのポイントは、 $d \vec{r}$ の意味から、 $d \vec{r} = d x \vec{i} + d y \vec{j} + d z \vec{k}$ と記述する点である。
この例題では、ベクトル関数はz成分は無いため、 $d \vec{r} = d x \vec{i} + d y \vec{j}$ としている。

上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。
ここで、ドット(⋅)は内積を表している。
$\begin{aligned} \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} & = \int_{C} (- 3 x^{2} \vec{i} + 5 x y \vec{j}) \cdot (d x \vec{i} + d y \vec{j}) \\ = \int_{C} (- 3 x^{2} d x + 5 x y d y) \end{aligned}$
ここで、 $\vec{F} (x, y) = - 3 x^{2} \vec{i} + 5 x y \vec{j}$ を成分表示すると、 $(\begin{matrix} - 3 x^{2} \\ 5 x y \end{matrix})$ である。
同様に、 $d x \vec{i} + d y \vec{j}$ の成分表示は、 $(\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 t \end{matrix}) d t$ である。

次に、xとyをパラメータt(ここでは、 $x = t, y = 4 t^{2}, d x = d t, d y = 4 t d t$ を代入する)で記述する。
これが、経路Cを満たすように式変形するということである。
$\begin{aligned} \int_{C} (- 3 x^{2} d x + 5 x y d y) & = \int_{0}^{1} - 3 t^{2} d t + 5 t (2 t^{2}) 4 t d t \\ = \int_{0}^{1} - 3 t^{2} d t + 40 t^{4} d t \\ = \int_{0}^{1} (- 3 t^{2} + 40 t^{4}) d t \\ = [- t^{3} + 8 t^{5}]_{0}^{1} \\ = - 1 + 8 \\ = 7 \end{aligned}$

例題. 2

ベクトル場 $\vec{F} = a (\sin t \vec{i} + \cos t \vec{j})$ (aは正の定数)において、
経路Cを $C : \vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + b t \vec{k} (0 \leq t \leq \frac{π}{4})$ )とする時、
線積分 $\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}$ を求めよ。

$\vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + b t \vec{k}$ をtで微分すると、
$\frac{\vec{d r}}{d t} = - \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}$ となり、
$\vec{d r} = (- \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}) d t$ である。

$\vec{d r}$ を成分表示すると、 $\vec{d r} = (\begin{matrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{matrix}) d t$ となる。
また、 $\vec{F}$ を成分表示すると、 $\vec{F} = (\begin{matrix} a \cos t \\ a \cos t \\ 0 \end{matrix})$ である。

内積はx成分、y成分、z成分それぞれ乗算した後に加算して求めるため、以下のように計算できる。
$\begin{aligned} \vec{F} \cdot d \vec{r} & = (\begin{matrix} a \sin t \\ a \cos t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{matrix}) d t \\ = a (- \sin^{2} t + \cos^{2} t) d t \\ = a \cos 2 t ∵ \cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} & = \int_{0}^{\frac{π}{4}} a \cos 2 t d t \\ = [\frac{a \sin 2 t}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \\ = \frac{a}{2} {\sin (2 \times \frac{π}{4}) - \sin 0} \\ = \frac{a}{2} (1 - 0) \\ = \frac{a}{2} \end{aligned}$

例題. 3

aを定数として、 $\vec{F} = ⟨ - a y, a x, 0 ⟩$ というベクトル場を考える。
この時、次の問を求めよ。

(1) 下図左のように、点A ： (1, 0, 0)、点B ： (1, 1, 0)、点C ： (0, 1, 0)の3点をつないだ閉曲線cを考える。
    この閉曲線Cに沿った $\vec{F}$ の線積分を求めよ。
    ただし、線積分の向きは、下図左の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。

(2) 下図右のように、点A ： (1, 0, 0)から点C ： (0, 1, 0)まで、原点Oを中心とする半径1の円の円周に沿って曲線ℓを引く。
    この曲線lに沿った $\vec{F}$ の線積分を求めよ。
    ただし、線積分の向きは、下図右の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。

(1)の求め方
経路C上の位置ベクトル $\vec{r}$ を1つの変数で表す。
経路Cは3本の線分から構成されているため、各線分の線積分を計算して加算する。

(i) 線分AB上での線積分
線分AB上の位置ベクトルを $\vec{r_{1}}$ とする時、 $x = 1, y = t$ とおくと、 $\vec{r_{1}} = ⟨ 1, t, 0 ⟩$ となる。
$\frac{\vec{d r_{1}}}{d t} = ⟨ 0, 1, 0 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ より、線素ベクトル $\vec{d r_{1}}$ は、 $\vec{d r_{1}} = ⟨ 0, 1, 0 ⟩ d t = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) d t$ となる。

さらに、ベクトル場 $\vec{F}$ に位置ベクトル $\vec{r_{1}}$ を適用( $x = 1, y = t$ を代入)すると、 $\vec{F} = ⟨ - a t, a, 0 ⟩ = (\begin{matrix} - a t \\ a \\ 0 \end{matrix})$ となる。
よって、経路ABの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は $t : 0 \to 1$ となるため、線分AB上での線積分は次式となる。
$\begin{aligned} \int_{A B} \vec{F} \cdot \vec{d r_{1}} & = \int_{0}^{1} ⟨ - a t, a, 0 ⟩ \cdot ⟨ 0, 1, 0 ⟩ \\ = a \int_{0}^{1} d t \\ = a \end{aligned}$

(ii) 線分BC上での線積分
線分BC上の位置ベクトルを $\vec{r_{2}}$ とする時、 $x = t, y = 1$ とおくと、 $\vec{r_{2}} = ⟨ t, 1, 0 ⟩$ となる。
$\frac{\vec{d r_{2}}}{d t} = ⟨ 1, 0, 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ より、線素ベクトル $\vec{d r_{2}}$ は、 $\vec{d r_{2}} = ⟨ 1, 0, 0 ⟩ d t = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) d t$ となる。

さらに、ベクトル場 $\vec{F}$ に位置ベクトル $\vec{r_{2}}$ を適用( $x = t, y = 1$ を代入)すると、 $\vec{F} = ⟨ - a, a t, 0 ⟩ = (\begin{matrix} - a \\ a t \\ 0 \end{matrix})$ となる。
よって、経路BCの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は $t : 1 \to 0$ となるため、線分BC上での線積分は次式となる。
$\begin{aligned} \int_{B C} \vec{F} \cdot \vec{d r_{2}} & = \int_{1}^{0} ⟨ - a, a t, 0 ⟩ \cdot ⟨ 1, 0, 0 ⟩ \\ = - a \int_{1}^{0} d t \\ = a \end{aligned}$

(iii) 線分CA上での線積分
線分CA上の位置ベクトルを $\vec{r_{3}}$ とする時、 $x = t, y = - t + 1$ とおくと、 $\vec{r_{3}} = ⟨ t, - t + 1, 0 ⟩$ となる。
$\frac{\vec{d r_{3}}}{d t} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$ より、線素ベクトル $\vec{d r_{3}}$ は、 $\vec{d r_{3}} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩ d t = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) d t$ となる。

さらに、ベクトル場 $\vec{F}$ に位置ベクトル $\vec{r_{3}}$ を適用( $x = t, y = - t + 1$ を代入)すると、 $\vec{F} = ⟨ a t - a, a t, 0 ⟩ = (\begin{matrix} a t - a \\ a t \\ 0 \end{matrix})$ となる。
よって、経路CAの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は $t : 0 \to 1$ となるため、線分CA上での線積分は次式となる。
$\begin{aligned} \int_{C A} \vec{F} \cdot \vec{d r_{3}} & = \int_{0}^{1} ⟨ a t - a, a t, 0 ⟩ \cdot ⟨ 1, - 1, 0 ⟩ \\ = \int_{0}^{1} (a t - a - a t) d t \\ = \int_{0}^{1} - a d t \\ = - a \int_{0}^{1} d t \\ = - a [t]_{0}^{1} \\ = - a \end{aligned}$

したがって、 $\int_{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{A B} \vec{F} \cdot \vec{d r_{1}} + \int_{B C} \vec{F} \cdot \vec{d r_{2}} + \int_{C A} \vec{F} \cdot \vec{d r_{3}} = a + a - a = a$ となる。

(2)の求め方
経路lは原点Oを中心とする半径1の円である。
経路l上の位置ベクトルを $\vec{r}$ とする時、極座標表示を用いて $x = c o s θ, y = \sin θ$ とおくと、 $\vec{r} = ⟨ \cos θ, \sin θ, 0 ⟩$ となる。
$\frac{\vec{d r}}{d t} = ⟨ - \sin θ, \cos θ, 0 ⟩ = (\begin{matrix} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{matrix})$ より、線素ベクトル $\vec{d r}$ は、 $\vec{d r} = ⟨ - \sin θ, \cos θ, 0 ⟩ d t = (\begin{matrix} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{matrix}) d t$ となる。

さらに、ベクトル場 $\vec{F}$ に位置ベクトル $\vec{r}$ を適用( $x = \cos θ, y = \sin θ$ を代入)すると、 $\vec{F} = ⟨ - a \sin θ, a \cos θ, 0 ⟩ = (\begin{matrix} - a \sin θ \\ a \cos θ \\ 0 \end{matrix})$ となる。
よって、経路lの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は $t : 0 \to \frac{π}{2}$ となるため、経路l上での線積分は次式となる。
$\begin{aligned} \int_{l} \vec{F} \cdot \vec{d r} & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} ⟨ - a \sin θ, a \cos θ, 0 ⟩ \cdot ⟨ - \sin θ, \cos θ, 0 ⟩ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (a \sin^{2} θ + a \cos^{2} θ) d t \\ = a \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) d t \\ = a \int_{0}^{\frac{π}{2}} d t ∵ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 \\ = a [t]_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \frac{a π}{2} \end{aligned}$

ベクトル量の線積分

物理学では、ベクトルの概念と組み合わさった形の別の線積分が出てくるので、これだけで線積分が完全に理解できない。
それについては、別のページで記載する。