応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• $\frac{dy}{dx}=f(x)h(y)\because h(y)=\frac{1}{g(y)}$

• 変数分離形の例

  $\frac{dy}{dx}=2xy$

  $\frac{dy}{dx}=(x^2+1)(y+\frac{1}{y})$

  
  

• 変数分離形ではない例

  $\frac{dy}{dx}=2x+3y$

  $\frac{dy}{dx}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=x$

解答.
$\begin{array}{rl}dy& =xdx\\ \int dy& =\int xdx\\ y& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=y$

解答.
$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}dy& =dx\\ \int \frac{1}{y}dy& =\int dx\\ \ln |y|& =x+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ |y|& =e^{x+C}\\ y& =\pm e^C{e}^x\\ y& =C{e}^x\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
$\begin{array}{rl}\int ydy& =\int xdx\\ \frac{1}{2}{y}^2& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ y^2& =x^2+2C\\ y^2& =x^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$