応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式

概要

線形微分方程式とは、$f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x),g(x)$ をxのみの関数とする。
この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。

$\frac{d{y}^{(n)}}{dx}+f_1(x)\frac{d{y}^{(n-1)}}{dx}+\cdots +f_{(n-1)}(x)\frac{dy}{dx}+f_n(x)y=g(x)\cdots (1)$

上式において、$g(x)=0$ の時を同次方程式、$g(x)\ne 0$ の時を非同次方程式と呼ぶ。

線形常微分方程式には、連立1次方程式の解の構造との類似性があり、線形代数とのアナロジーがある。
定数係数2階線形常微分方程式は、電磁気学、動力学、量子力学、振動現象等の記述に現れる。

解の存在と一意性

定理（存在定理） :
xのみの関数 $f_1(x),f_2(x),\cdots f_n(x),g(x)$ が、区間Iで連続とする。
この時、I内の点 $x=a$ における以下の初期条件のもとで、以下のN階線形常微分方程式の解は区間Iでただ1つ存在する。

初期条件 ：
$y(a)=b_0,\frac{dy(a)}{dx}=b_1,\cdots \frac{d{y}^{(n-1)}(a)}{dx}=bn-1$

N階線形常微分方程式 ：
$\frac{d{y}^{(n)}}{dx}+f_1(x)\frac{d{y}^{(n-1)}}{dx}+\cdots +f_{(n-1)}(x)\frac{dy}{dx}+f_n(x)y=g(x)\cdots (1)$