ガウス積分

概要

ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。
積分範囲が $\mathrm{\infty }$ に及ぶため、広義積分である。

極座標の広義積分

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdyD=\{(x,y)|0\le x^2+y^2\le \mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\le y\le \mathrm{\infty }\}$

直交直線座標から円座標への変換

直交直線座標 $(x,y)$ から円座標 $(r,\theta )$ への変換は次式で与えられる。
$\{\begin{array}{ll}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \\ \end{array}$

ヤコビアン

2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算して $dxdy$ と $drd\theta$ の関係式を求める必要がある。
$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|\\ & =r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta \\ & =r\end{array}$
したがって、$dxdy=rdrd\theta$となる。

求め方

円が含まれる場合は、極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta (r\ge 0,0\le \theta \le 2\pi )$とおく。
変換後の積分範囲D'は、$D^{\prime }=\{(r,\theta )|0\le r\le \mathrm{\infty },0\le \theta \le 2\pi \}$ の形に変形でき、2重積分を計算することができる。

$\begin{array}{rl}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy\\ =& \underset{D^{\prime }}{\iint }{e}^{-r^2{\cos }^2\theta -r^2{\sin }^2\theta }rdrd\theta \\ =& \underset{D^{\prime }}{\iint }{e}^{-r^2}rdrd\theta \because {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1\\ =& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdr\\ =& 2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdr\cdots (1)\end{array}$

ここで、$t=r^2$ として変数変換を行う。
$\frac{dt}{dr}=2r$ より、$\frac{1}{2}dt=rdr$ となる。
また、$r=0,r=\mathrm{\infty }$ の時、積分範囲は次式となる。
$\{\begin{array}{ll}r=0& ⟹t=0\\ r=\mathrm{\infty }& ⟹t=\mathrm{\infty }\\ \end{array}$

上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。
$\begin{array}{rl}& \pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt\\ =& -\pi [e^{-t}{]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ =& -\pi (0-1)\\ =& \pi \end{array}$

ガウス積分

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

極座標における広義積分 $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy=\pi$ より、次式のように分けることができる。
この時、積分変数の文字は何でもよい。

$\begin{array}{rl}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy\\ =& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\cdots (1)\end{array}$

(1)式より、次式のように考えることができる。
$\begin{array}{rl}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\\ =& {\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\pi \cdots (2)\end{array}$

(2)式より、次式が求められる。
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$