応用数学 - 広義積分と無限積分

極限の例題

例題:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x<1)\\ 0& (x\ge 1)\end{array}$
について、以下の極限を求めよ。

(1) $\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)$
(2) $\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$
(3) $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$
(4) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$
(5) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

解答:
(1)
xを正の方向から1に近づけた極限なので、
$\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=0$

(2)
xを負の方向から1に近づけた極限なので、
$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=1$

(3)
xを正と負の両方から近づけた極限である。
しかし、(1)(2)より、右側極限と左側極限は一致しない。
そのため、一定の値には収束しないので、
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ は値なし。

(4)
xを限りなく大きくしたときの極限なので、
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0(\text{ 収 束 })$

(5)
xを限りなく小さくしたときの極限なので、
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }(\text{ 発 散 })$

連続な関数

定義:
関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続とは、以下の条件を満たすことである。
(1) $f(a)$ が存在する。
(2) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ が存在する。
(3) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

関数 $f(x)$ が区間Iで連続とは、以下の条件を満たすことである。
区間Iの任意の値aについて、$f(x)$ は $x=a$ で連続。

区分的に連続な関数

定義:
$a\le x\le b$ で定義された関数 $f(x)$ が以下の条件を満たすとき、 $f(x)$ は $a\le x\le b$ で区分的に連続(piecewisely continuous)であるという。

(1) $f(x)$ は $a\le x\le b$ において有限個の点を除いて連続である。
(2) $f(x)$ の不連続な点cにおいては、以下で示す右側極限と左側極限が存在する。
    $\underset{x\to c+0}{\lim }f(x)\underset{x\to c-0}{\lim }f(x)$

$f(x)$ が $a\le x\le b$ で区分的に連続であるとは、言い換えると以下の条件を満たすことである。
(1) 不連続な点があっても有限個である。
(2) 不連続な点では、値が $+\mathrm{\infty }$ や $-\mathrm{\infty }$ に発散したり振動したりしない。

このような区分的に連続な関数に対しては、連続な関数とほぼ同様に定積分を行うことができる。

下図に、区分的に連続な関数を示す。

図. $a\le x\le b$ において区分的に連続な関数 $f(x)$

ラプラス変換では、このような関数を扱う。