応用数学 - ラプラス変換

概要

ラプラス変換(Laplace transform)は、$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ から無限積分を用いて、新しい関数 $F(s)$ を作り出す積分変換である。
ラプラス変換は、微分方程式を代数演算に帰着させて解くための方法を与える。

ラプラス変換を使用すると、ある種の微分方程式に関しては、ややこしい積分を使用せずに代数的に解くことが可能になる。

ラプラス変換の名前は、ラプラス(Pierre-SimonLaplace, 1749 - 1827)に因む。
ラプラスは微分方程式の解法としてラプラス変換を導入したわけではない。

「ラプラス変換を使用した微分方程式の解法」は、ヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850 -1925)によるものである。
ヘビサイドは演算子を使用した微分方程式の解法を発見した。
この演算子の数学的基礎付けが他の数学者達によって行われ、ラプラス変換との関係が明らかにされた。

ラプラス変換の定義

定義:
$f(t)$ を $t\ge 0$ で定義された関数とする。
この時、以下のsの関数 $F(s)$ を $f(t)$ のラプラス変換と言い、$L[f(t)]$ または $L[f]$と書く。
$F(s)=L[f(t)]$

$F(s)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$

$f(t)$ を原関数(primitive function)、$F(s)$ を像関数(image function)または $f(t)$ のラプラス変換と呼ぶ。
$F(s)$ のsは実数または複素数である。

$f(t)$ が $t>0$ で定義されていて、$t=0$ では定義されていない場合でも、$f(0)$の値を適当に決めて $t\ge 0$ で定義されているとしてよい。

$f(t)$ から $F(s)$ に変換する式の説明
$f(t)$ に $e^{-st}$ を乗算して $f(t)e^{-st}$ を作る時、$s$ は定数とみなしてよい。
次に、この関数を $0\text{ 〜 }+\mathrm{\infty }$ の範囲で積分する。(積分は変数tで行うので、sはまだ定数とみなしてよい)
無限積分は定積分なので、積分の結果、変数tは消える。(ここで定数と見なしていたsは残る)
これを、sの関数 $F(s)$ とする。

ラプラス変換の定義式の $F(s)$ は、右辺の無限積分が収束する場合のみ定義される。
右辺の無限積分はsの値によって収束する場合と収束しない場合が考えられる。

ラプラス変換は、変数tの関数の集合(原関数の集合)から、変数sの関数の集合(像関数の集合)への変換規則を表している。

ラプラス変換の定義に関する例題

ラプラス変換の定義に従って、関数 $f(t)=1$ のラプラス変換 $L[f]$ を求めよ。

$\begin{array}{rl}L[f]& =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt\\ & =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}dt\end{array}$

sの値により場合分けする。

$s=0$ の時

$\begin{array}{rl}L[f]& =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-0\dot{t}}dt=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}dt\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}dt\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }[t{]}_0^{\beta }\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\beta \\ & =+\mathrm{\infty }\end{array}$

$s\ne 0$ の時

$\begin{array}{rl}L[f]& =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}dt\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{e}^{-st}dt\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }[-\frac{e^{-st}}{s}{]}_0^{\beta }\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{e^{-s\beta }-1}{s}\\ & =\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-e^{-s\beta }}{s}\\ & =\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty }& (s<0\text{ の と き })\\ \frac{1}{s}& (s>0\text{ の と き })\end{array}\end{array}$

以上より、$s>0$ の時のみ $L[f]$ は収束し、次式となる。
$L[1]=\frac{1}{s}(s>0)$

ラプラス変換の存在条件

定理:
関数 $f(t)$ は $t\ge 0$ において区分的に連続であるとする。
この時、$f(t)$ に対し、以下を満たす定数Mとαが存在すれば、$s>\alpha$ であるsについてラプラス変換 $L[f]$ が存在する。
$|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$

説明:
この定理の条件を満たす関数を指数α位の関数と言う。
$f(t)$ が指数α位のとき、ラプラス変換の定義式は $s>\alpha$ の範囲で収束して、ラプラス変換が存在する。

基本的な関数のラプラス変換公式

下表のような原関数 $f(t)$ と像関数 $F(s)$ の対応関係を変換表として使用すれば、ラプラス変換を機械的に実行できる。

$f(t)$	$F(s)$	条件
$1$	$\frac{1}{s}$	$s>0$
$t$	$\frac{1}{s^2}$	$s>0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$s>0,n=0,1,2,\cdots$
$t^{\alpha }$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{s^{\alpha +1}}$	$\alpha >-1,s>0$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$	$s>\alpha$
$\sin at$	$\frac{a}{s^2+a^2}$	$s>0,a:\text{ 実 定 数 }$
$\cos at$	$\frac{s}{s^2-a^2}$	$s>0,a:\text{ 実 定 数 }$
単位階段関数 $U(t-a)$	$\frac{e^{-as}}{s}$	$s>0,a>0$
デルタ関数 $\delta (t)$	$1$	$-\mathrm{\infty }<s<\mathrm{\infty }$

法則

$f(t)$	$F(s)$	条件
線形法則 $\sinh (at)$	$\frac{a}{s^2-a^2}$	$s>a\ge 0$
線形法則 $\cosh (at)$	$\frac{s}{s^2-a^2}$	$s>a\ge 0$
相似法則 $f(at)$	$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$	$s>\alpha a$
第1移動法則 $e^{\lambda t}\sin (at)$	$\frac{a}{(s-\lambda {)}^2+a^2}$	$s>\lambda$
第1移動法則 $e^{\lambda t}\cos (at)$	$\frac{s-\lambda }{(s-\lambda {)}^2+a^2}$	$s>\lambda$
第2移動法則 $U(t-\lambda )f(t-\lambda )$	$e^{-\lambda s}F(s)$	$s>a$

※備考

$\sinh (at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}$

$\cosh (at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}$

ラプラス変換公式を使用した例題

ラプラス変換公式を使用して、以下の関数のラプラス変換を求めよ。

(1) ${ℒ}[t^2]$
(2) ${ℒ}[\sqrt{(}t)]$
(3) ${ℒ}[\sin \omega t]$
(4) ${ℒ}[\cos \frac{t}{3}]$
(5) ${ℒ}[e^{-t}]$

• (1)の解答

  ${ℒ}[t^2]=\frac{2!}{s^{(}2+1)}=\frac{2}{s^3}(s>0)$

• (2)の解答

  ${ℒ}[\sqrt{t}]={ℒ}\left[t^{\frac{1}{2}}\right]=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)}{s^{(1/2)+1}}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2s\sqrt{s}}(s>0)$

  参考: $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )(\alpha >0)$

• (3)の解答

  ${ℒ}[\sin 2t]=\frac{2}{s^2+2^2}=\frac{2}{s^2+4}(s>0)$

• (4)の解答

  ${ℒ}[\cos \frac{t}{3}]=\frac{s}{s^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{s}{s^2+\frac{1}{9}}=\frac{9s}{9s^2+1}(s>0)$

• (5)の解答

  ${ℒ}[e^{-t}]=\frac{1}{s-(-1)}=\frac{1}{s+1}(s>-1)$

線形法則

定理:
${ℒ}[f(t)]$ と ${ℒ}[g(t)]$ がそれぞれ $s>{\alpha }_1,s>{\alpha }_2$ において存在する時、
任意の定数 $a,b$について以下が成立する。

${ℒ}[af(t)+bf(t)]=a{ℒ}[f(t)]+b{ℒ}[g(t)](s>max({\alpha }_1,{\alpha }_2))$

例題:
線形法則とラプラス変換公式を使用して、以下のラプラス変換を求めよ。
${ℒ}[3e^{-t}+2e^{2t}]$

解答:
線形法則より以下が成立する。
${ℒ}[3e^{-t}+2e^{2t}]=3{ℒ}[e^{-t}]+2{ℒ}[e^{2t}]$

したがって、変換公式を使用すると以下が求められる。
$\begin{array}{rl}\text{ 与 式 }& =3{ℒ}[e^{-t}]+2{ℒ}[e^{2t}]\\ & =3\frac{1}{s+1}+2\frac{1}{s-2}\\ & =\frac{3}{s+1}+\frac{2}{s-2}\end{array}$

sの範囲は $s>-1$ かつ $s>2$ より、 $s>2$ となる。

相似法則

定理:
${ℒ}[f(t)]=F(s)(s>\alpha )$ の時、正の定数aについて以下が成立する。
${ℒ}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)(s>\alpha a)$

説明:
$f(t)$ の変数tをa倍した $f(at)$ に対応するラプラス変換は、 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ の変数を $\frac{1}{a}$ 倍して、さらにそれを $\frac{1}{a}$ 倍したものになる。

例題:
相似法則とラプラス変換の公式 ${ℒ}[e^t]=\frac{1}{s-1}(s>1)$ を使用して、以下の値を求めよ。
${ℒ}[e^{\frac{t}{2}}]$

解答:
この問題は、$F(s)=\frac{1}{s-1},a=\frac{1}{2}$ の場合である。
$\begin{array}{rl}{ℒ}[e^{\frac{t}{2}}]& =\frac{1}{\frac{1}{2}}F\left(\frac{s}{\frac{1}{2}}\right)\\ & =2\frac{1}{\frac{s}{\frac{1}{2}}-1}\\ & =\frac{2}{2s-1}\end{array}$

sの範囲は、$\frac{s}{\frac{1}{2}}>1$ より、 $s>\frac{1}{2}$ となる。

第1移動法則

定理:
${ℒ}[f(t)]=F(s)(s>a)$ の時、以下が成立する。
${ℒ}[e^{\lambda t}f(t)]=F(s-\lambda )(s>a+\lambda )$

説明:
$f(t)$ に指数関数 $e^{\lambda t}$ を乗算するということは、 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ を $\lambda$ だけ平行移動することに対応する。

例題:
第1移動法則およびラプラス変換の公式 ${ℒ}[t]=\frac{1}{s^2}$ を使用して、以下の値を求めよ。
${ℒ}[t{e}^{3t}]$

解答:
第1移動法則において、 $f(t)=t,\lambda =3$ とする。
${ℒ}[t]=\frac{1}{s^2}$ より、
${ℒ}[t{e}^{3t}]={ℒ}[e^{3t}t]=\frac{1}{(s-3{)}^2}$

ここで、 $s-3>0$ より、 $s>3$

第2移動法則

定理:
${ℒ}[f(t)]=F(s)(s>a)$ の時、正の定数 $\lambda$ について以下が成立する。
${ℒ}[U(t-\lambda )f(t-\lambda )]=e^{-\lambda s}F(s)(s>a)$

説明:
$f(t)$ を $\lambda$ だけ平行移動させることは、ラプラス変換した側では $F(s)$ に指数関数 $e^{-\lambda s}$ を乗算することに対応する。
$U(t-\lambda )f(t-\lambda )$ のグラフは、$t\ge \lambda$ の時は $f(t-\lambda )$ 、 $t<\lambda$ の時は $0$ となる。

例題:
第2移動法則を用いて以下の値を求めよ。
${ℒ}[U(t-2)(t-2{)}^2]$

解答:
$U(t-2)(t-2{)}^2$ は第2移動法則において、 $\lambda =2,f(t)=t^2$ の場合に対応する。
第2移動法則およびラプラス変換の公式 ${ℒ}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}(s>0)$ を使用して計算する。

$\begin{array}{rl}{ℒ}[U(t-2)(t-2{)}^2]& =e^{-2s}{ℒ}[t^2]\\ & =e^{-2s}\frac{2!}{s^{2+1}}(\text{ 第 2 移 動 法 則 })\\ & =\frac{2}{s^3}{e}^{-2s}(s>0)(\text{ 変 換 公 式 })\end{array}$

微分法則

定理1:
$f(x)$ は $t\ge 0$ で定義された連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在し、微分可能であるとする。
$|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$

この時、$\frac{df(t)}{dt}$ が区分的に連続であれば、$s>\alpha$ の時 ${ℒ}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]$ が存在し、以下が成立する。
${ℒ}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s{ℒ}[f(t)]-f(0)(s>\alpha )$

定理1の説明:
$f(t)$ を微分することは、 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ をs倍して $f(0)$ を減算することに対応する。
原関数を微分することは、像関数をs倍した後、定数 $f(0)$ を減算することに対応する。

定理2:
$t\ge 0$ において、 $f(t),\frac{df(t)}{dt},\cdots ,\frac{d^{(n-1)}f(t)}{d{t}^{(n-1)}}$ は連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在すると仮定する。
$|f^{(i)}(t)|\le M{e}^{\alpha t}(i=0,1,2,\cdots ,n-1)$

この時、 $t\ge 0$ において $\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$ が区分的に連続であれば、 $s>\alpha$ の時、 ${ℒ}\left[\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right]$ が存在し、以下が成立する。
${ℒ}[f^{(n)}(t)]=s^n{ℒ}[f(t)]-s^{n-1}f(0)-\cdots -s\frac{d^{(n-2)}f(0)}{d{t}^{(n-2)}}-\frac{d^{(n-1)}f(0)}{d{t}^{(n-1)}}(s>\alpha )$

定理2の説明:
原関数の世界で微分することは、像関数の世界では「sの多項式を作る」ことに対応する。
この定理の式はラプラス変換を使用して微分方程式を解く際に重要な役割を果たす。

微分方程式を解く際に必要となる公式:
$f(t),\frac{df(t)}{dt},s$ が上記の定理の条件を満たしているとする。
この時、以下が成立する。
(1) ${ℒ}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s{ℒ}[f(t)]-f(0)$
(2) ${ℒ}\left[\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}\right]=s^2{ℒ}[f(t)]-sf(0)-\frac{df(0)}{dt}$

例題:
$f(t)=t{e}^t$ について以下を求めよ。
(1) $\frac{df(t)}{dt}$
(2) $f(0)$
(3) ${ℒ}[f(t)]$ (微分法則を使用する)

解答:
(1)
積の微分公式より、 $\frac{df(t)}{dt}=e^t+t{e}^t$

(2)
$t=0$ の時、 $f(0)=0\times e^0=0$

(3)
$n=1$ の微分法則により、 ${ℒ}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s{ℒ}[f(t)]-f(0)$
これに、 $f(t),\frac{df(t)}{dt},f(0)$ を代入する。

すると、 ${ℒ}[e^t+t{e}^t]=s{ℒ}[t{e}^t]-0$ となる。

$\begin{array}{rl}{ℒ}[e^t+t{e}^t]& =s{ℒ}[t{e}^t]-0\\ ⟺{ℒ}[e^t]+L[t{e}^t]& =s{ℒ}[t{e}^t]\text{ 線 形 性 よ り }\\ ⟺(s-1){ℒ}[t{e}^t]& ={ℒ}[e^t]\\ ⟺(s-1){ℒ}[t{e}^t]& =\frac{1}{s-1}(s>1)\\ ⟺{ℒ}[t{e}^t]& =\frac{1}{(s-1{)}^2}(s>1)\end{array}$

積分法則

定理:
$f(t)$ は $t\ge 0$ において区分的に連続であり、ある定数M, αに対して、 $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$ が成立すると仮定する。
この時、以下が成立する。
${ℒ}\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(u)du\right]=\frac{1}{s}{ℒ}[f(t)](s>max(0,\alpha ))$

説明:
原関数を積分することは、像関数をsで除算することに対応する。

参考:
原関数の微分は、像関数をs倍すること(その後に定数を減算すること)に対応する。

例題:
積分法則を使用して以下の値を求めよ。
${ℒ}\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin (3u)du\right]$

解答:
積分法則より、
$\begin{array}{rl}{ℒ}\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin (3u)du\right]& =\frac{1}{s}{ℒ}[\sin (3t)]\\ & =\frac{1}{s}\frac{3}{s^2+3^2}\\ & =\frac{3}{s(s^2+9)}(s>0)\end{array}$

参考:
${ℒ}[\sin (at)]=\frac{a}{s^2+a^2}(s>0)$

$t^n$ 積法則

定理:
$f(t)$は、 $t\ge 0$ において区分的に連続で指数α位の関数とする。
この時、 ${ℒ}[t^{n}f(t)](n=1,2,\cdots )$ が存在し、 ${ℒ}[f(t)]=F(s)$ とおくとき、以下が成立する。
${ℒ}[t^{n}f(t)]=(-1{)}^n\frac{d^{n}F(s)}{d{s}^n}(s>\alpha ,n=1,2,3,\cdots )$

説明:
原関数の世界で「関数を $t^n$ 倍する」ことは、像関数の世界では「関数を $n$ 回微分して $(-1{)}^n$ 倍する」ことに対応する。

$t^n$ 積法則の具体例:
$f(t)$ は、先の定理の仮定を満たしているとする。
この時、以下が成立する。
(1) $n=\text{ 正 整 数 }$ の場合:
${ℒ}[t^{n}f(t)]=(-1{)}^n\frac{d^{n}F(s)}{d{s}^n}$

(2) $n=1$ の場合:
${ℒ}[tf(t)]=-\frac{dF(s)}{ds}$

(3) $n=2$ の場合:
${ℒ}[t^{2}f(t)]=\frac{d^{2}F(s)}{d{s}^2}$

例題:
$t^n$ 積法則を使用して以下の値を求めよ。
${ℒ}[t{e}^{2t}]$

解答:
$f(t)=e^{2t}$ とおくと、
${ℒ}[f(t)]=L[e^{2t}]=\frac{1}{s-2}=(s-2{)}^{-1}(s>2)$

$t^n$ 積法則の $n=1$ の場合を適用すると以下が得られる。
${ℒ}[t{e}^{2t}]=-\frac{dF(s)}{ds}=-\frac{d}{ds}(s-2{)}^{-1}$

ここで、合成関数の微分公式を使用して、
$\begin{array}{rl}\text{ 与 式 }& =-(-1)(s-2{)}^{-2}\\ & =\frac{1}{(s-2{)}^2}(s>2)\end{array}$

ラプラス変換による微分方程式の解法

ラプラス変換の応用

ラプラス変換は、微分方程式を解くために用いられる。
また、システムの安定性や過渡解の解析に用いられる。

主な応用分野

• 古典的自動制御: 伝達関数を求めるための計算手法。
• 電気回路: 過渡現象を表す微分方程式の解法。

他の積分変換との比較

フーリエ変換

フーリエ変換(Fourier transform)とラプラス変換では積分範囲と係数部分が異なる。
また、ラプラス変換の変数sに対応する変数が $i\omega$ (i: 虚数単位)になる。

フーリエ変換は、ラプラス変換とは異なり、周波数分析に使用される。

フーリエ変換は、スイッチをON/OFFした後、時間が十分経過した後の電圧・電流の波形の分析に使用される。
ラプラス変換は、過渡状態の電圧・電流の分析に使用される。(過渡状態とは、スイッチをON/OFFした直後の状態である)

Z変換

Z変換(Z-transform)は、両側ラプラス変換を離散化したものである。
Z変換は、デジタル信号処理で用いられる。

変換を離散化することによりコンピュータで効率よく扱うことができるようになる。

離散フーリエ変換

離散フーリエ変換(DFT: Discrete Fouriertransform)は、フーリエ変換を離散化したものである。
離散フーリエ変換を高速に計算するためのアルゴリズムとして高速フーリエ変換(FFT: Fast Fouriertransform)がある。
これらの技術はデジタル信号処理で使用される。