応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

$\frac{dy}{dx}$の扱い

以下の命題は、$\frac{dy}{dx}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
$\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx=\int g(y)dy$

証明.
$y=\varphi (x)$ とおいて、両辺をxで微分すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{d\varphi }{dx}$
置換積分の公式より、$\int g(y)dy=\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx$
$y=\varphi (x)$ より、
$\int g(\varphi (x))\frac{d\varphi }{dx}dx=\int (g(y)\frac{dy}{dx})dx$

命題2.
$g(y)dy=f(x)dx\Rightarrow \int g(y)dy=\int f(x)dx$

証明.
$g(y)dy=f(x)dx$ の両辺をdxで除算して、本来の記号 $\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

両辺をxで積分すると次式となる。
$\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx=\int f(x)dx$

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
$\int g(y)dy=\int f(x)dx$

命題3.
$f(x)dx+g(y)dy=0\Rightarrow \int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

証明.
$f(x)dx+g(y)dy=0$ の両辺をdxで除算して、本来の記号$\frac{dy}{dx}$ に戻すと次式となる。
$f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)=0$

この両辺をxで積分すると次式となる。
$\begin{array}{rl}\int f(x)+g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =0\\ \int f(x)dx+\int g(y)\left(\frac{dy}{dx}\right)dx& =C\end{array}$

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
$\int f(x)dx+\int g(y)dy=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• $\frac{dy}{dx}=f(x)h(y)\because h(y)=\frac{1}{g(y)}$

• 変数分離形の例

  $\frac{dy}{dx}=2xy$

  $\frac{dy}{dx}=(x^2+1)(y+\frac{1}{y})$

  
  

• 変数分離形ではない例

  $\frac{dy}{dx}=2x+3y$

  $\frac{dy}{dx}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=x$

解答.
$\begin{array}{rl}dy& =xdx\\ \int dy& =\int xdx\\ y& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=y$

解答.
$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}dy& =dx\\ \int \frac{1}{y}dy& =\int dx\\ \ln |y|& =x+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ |y|& =e^{x+C}\\ y& =\pm e^C{e}^x\\ y& =C{e}^x\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
$\begin{array}{rl}\int ydy& =\int xdx\\ \frac{1}{2}{y}^2& =\frac{1}{2}{x}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ y^2& =x^2+2C\\ y^2& =x^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
$xdx-(1+x^2)dy=0$

解答.
$dy=\frac{x}{1+x^2}$ とおく。
$\begin{array}{rl}\int dy& =\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ y& =\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\\ y& =\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\\ \end{array}$

同次形微分方程式

同次形微分方程式とは

$\frac{dy}{dx}$ が $\frac{y}{x}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

$u=\frac{y}{x}$ とおけば、$y=ux$ より、積の微分公式を使用して、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$ となる。
これを、$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=f(u)$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

• $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$
• $\frac{dy}{dx}=2{\left(\frac{y}{x}\right)}^3+\frac{y}{x}$
• $\frac{dy}{dx}=\frac{(x+y)}{(x-y)}\Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

同次形微分方程式の例題

例題1.
微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$

解答.
$\frac{y}{x}=u$ とおくと、$y=ux$
積の微分公式より、$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$

これを微分方程式に代入すると、$u+\frac{du}{dx}x=u+1$ となり、各項を計算すると、$\frac{du}{dx}x=1$ となる。
したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$ であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
$\begin{array}{rl}\int \frac{du}{dx}dx& =\int \frac{1}{x}dx\\ \int du& =\int \frac{1}{x}dx\\ u& =\ln |x|+C\end{array}$

$u=\frac{y}{x}$ であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
$\frac{y}{x}=\ln |x|+C$

したがって、一般解は、
$y=x(\ln (|x|)+C)\text{( C : 任 意 定 数 )}$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$

解答.
$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$ は、次のように記述できるため、同次形微分方程式である。
$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}\cdots (1)$

ここで、$u=\frac{y}{x}\cdots (2)$ すなわち $y=xu$ とおくと、
$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\cdots (3)$

上式(2)(3)を上式(1)へ代入すると、
$u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}$

したがって、$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\frac{1+u^2}{1-u}\cdots (4)$
これは変数分離形である。

上式84)を変数分離して積分すると、次式となる。
$\int \frac{1-u}{1+u^2}du=\int \frac{1}{x}dx$
$\int \{\frac{1}{1+u^2}-\frac{1}{2}\frac{2u}{1+u^2}\}du=\int \frac{1}{x}dx$
したがって、${\tan }^{-1}(u)-\frac{1}{2}\ln (1+u^2)=\ln x+C$

ここで、$u=\frac{y}{x}$ を代入してx, yの式に戻す。
${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln (1+\frac{y^2}{x^2})=\ln x+C$

ここで、$\frac{1}{2}\ln (1+\frac{y^2}{x^2})$ は、対数の法則により、
$\frac{1}{2}\ln (1+\frac{y^2}{x^2})$
$=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right)$
$=\frac{1}{2}\{\ln (x^2+y^2)-\ln x^2\}$
$=\frac{1}{2}\{\ln (x^2+y^2)-2\ln x\}$
$=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)-\ln x$

ゆえに、一般解は次式となる。
$\begin{array}{lcl}{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+\ln x& =& \ln x+C\\ ⟹{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)& =& C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\end{array}$

1階線形微分方程式

1階線形微分方程式とは

$f(x),g(x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)\cdots (1)$

上式(1)の中で、$g(x)=0$ の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=0\cdots (2)$

上式(1)の中で、$g(x)\ne 0$ の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。

同次方程式は、変数分離形の方程式となる。

理由.
$\frac{dy}{dx}+f(x)y=0\text{( 同 次 方 程 式 )}$ を記述し直すと、
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-f(x)(y\ne 0)$ となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。

• まとめ:

• 同次方程式(変数分離形)

  $\frac{dy}{dx}+f(x)y=0$

• 非同次方程式

  $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)(g(x)\ne 0)$

1階線形微分方程式の例

• $\frac{dy}{dx}+y=x$
• $\frac{dy}{dx}+3x^{2}y=5x^2$
• $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\sin x$

1階線形微分方程式ではない例

• $y^n(n\ge 2)$ の項があるものは、非線形である。

例. $\frac{dy}{dx}+2xy=2x{y}^4$ (ベルヌーイ形の微分方程式)

1階線形微分方程式の一般解

定理
1階線形微分方程式 $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)$ の一般解は、以下の公式で表される。
$y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}\text{( C : 任 意 の 定 数 ) }$

ここで、$h(x)=e^{\int f(x)dx}$
$\int f(x)dx$ は $f(x)$ の原始関数の1つ

上式にある $h(x)$ を積分因子(integrating factor)という。

1階線形微分方程式の一般解の証明

1階線形微分方程式 $\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)\cdots (1)$ の両辺に $h(x)=e^{\int f(x)dx}\cdots (2)$を乗算すると、次式が得られる。
$\begin{array}{rl}(\frac{dy}{dx}+f(x)y)h(x)& =g(x)h(x)\\ \frac{dy}{dx}h(x)+y(f(x)h(x))& =g(x)h(x)\cdots (3)\end{array}$

ここで、$f(x)h(x)=\frac{dh(x)}{dx}$ である。
なぜなら、上式(2)において、$u=\int f(x)dx$ とおくと、$h(x)=e^u$ であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。
$\begin{array}{rl}\frac{dh(x)}{dx}& =\frac{d{e}^u}{dx}\frac{du}{dx}\\ & =e^u\frac{d}{dx}\{\int f(x)dx\}\\ & =f(x)e^u\\ & =f(x)h(x)\end{array}$

したがって、$f(x)h(x)=\frac{dh(x)}{dx}$ を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、$\frac{dy}{dx}h(x)+y\frac{dh(x)}{dx}=g(x)h(x)$
さらに、積の微分公式より、$\frac{d}{dx}(yh(x))=g(x)h(x)\cdots (4)$ となる。

上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。
$yh(x)=\int g(x)h(x)dx+C$

したがって、一般解は次式で表される。
$y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$
QED.

1階線形微分方程式の例題

例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
$x\frac{dy}{dx}+y=2x$

解答.
両辺をxで割ると、$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=2$ より、
$f(x)=\frac{1}{x},g(x)=2$ となる。

積分因子 $h(x)$ を求める。
$h(x)=e^{\int f(x)dx}=e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln (|x|)}=|x|\cdots (2)$

上記の式を $y=\frac{1}{h(x)}\{\int g(x)h(x)dx+C\}$ に代入すると、
$y=\frac{1}{|x|}\{\int 2|x|dx+C\}$

ここで、$|x|=\pm x$ より、
$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{\pm x}\{\int 2(\pm )xdx+C\}\\ & =\frac{1}{x}\{\int 2xdx+C\}\\ & =\frac{1}{x}(x^2+C)\\ & =x+\frac{C}{x}\end{array}$

ゆえに、一般解は次式となる。
$y=x+\frac{C}{x}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}+3x^{2}y=5x^2$

解答.
$f(x)=3x^2,g(x)=5x^2$ として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。

この時、$z=3x^2,w=x^3$ とする。
$\begin{array}{rl}y& =e^{-\int zdx}\{\int 5x^2{e}^{\int zdx}dx+C\}\\ & =e^{-w}\{\int 5x^2{e}^{w}dx+C\}\end{array}$

$\frac{5}{3}{e}^w$ をxで微分すると、合成関数の微分公式より、
$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{3}{e}^w\right)& =\frac{d}{dw}\left(\frac{5}{3}{e}^w\right)\frac{dw}{dx}\\ & =\frac{5}{3}{e}^w\frac{d}{dx}{x}^3\\ & =\frac{5}{3}{e}^{w}3x^2\\ & =5x^2{e}^w\end{array}$

よって、 $\int 5x^2{e}^{w}dx=\frac{5}{3}{e}^w$ が成立する。
したがって、$y=e^{-w}\{\frac{5}{3}{e}^w+C\}=C{e}^{-w}+\frac{5}{3}$

一般解は次式となる。
$y=C{e}^{-x^3}+\frac{5}{3}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}\because w=x^3$

例題3.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=2\ln x$

解答.
$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=2\ln x$ は、1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
$\begin{array}{rl}y& =e^{-\int -\frac{1}{x}dx}\{\int 2e^{\int -\frac{1}{x}dx}\ln x+C\}\\ & =e^{\ln x}\{\int 2e^{\ln x}\frac{1}{x}dx+C\}\\ & =x\{\int 2\ln x\frac{1}{x}dx+C\}\because e^{\ln x}=x\\ \end{array}$

合成関数の微分公式より、以下の式が成立する。
$\frac{d}{dx}(\ln x{)}^2=2\ln x\frac{d}{dx}\ln x=2\ln x\frac{1}{x}$

したがって、一般解は以下となる。
$y=x(\ln x{)}^2+C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

ベルヌーイ形微分方程式

ベルヌーイ形微分方程式とは

$f(x),g(x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、ベルヌーイ(Bernoulli)形微分方程式という。

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)yk(k\ne 0,1)\cdots (1)$

ベルヌーイ形方程式は、$u=y^{1-k}$ とおくことにより、1階線形微分方程式に記述することができる。
上式(1)において、$k=0,k=1$の場合は、それぞれ、変数分離形微分方程式、1階線形微分方程式になる。(そのため、kの条件 $k\ne 0,1$ で排除している)

ベルヌーイ形微分方程式の例.
ある値域(人口N人)のファッションの伝搬速度は、ファッションに参加している人数yと未参加者N - yの両方に比例すると考えられる。
$\frac{dy}{dx}=ky(N-y)$ (ロジスティック方程式)

この方程式を書き直すと以下のベルヌーイ形になる。
$\frac{dy}{dx}-kNy=-k{y}^2$ (ベルヌーイ形)

ベルヌーイ形微分方程式の1階線形微分方程式への変換

$\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)y^k(k\ne 0,1)\cdots (1)$ において、$y\ne 0$の場合を考える。( $y=0$ は、式(1)の解の1つである)

右辺からyを消すため、両辺を $y^k$ で除算すると、
$y-k\frac{dy}{dx}+f(x)y^{1-k}=g(x)\cdots (2)$

ここで、$\frac{d}{dx}(y^{1-k})=(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}$ という事実に着目して、上式(2)の両辺に $1-k$ を乗算すると、
$(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}+(1-k)f(x)y^{1-k}=(1-k)g(x)$

ここで、$u=y^{1-k},\frac{du}{dx}=(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}$ とおき、未知関数をyからuへ変換する。
この時、未知関数uの1階線形微分方程式となる。
$\frac{du}{dx}+(1-k)f(x)u=(1-k)g(x)$

ベルヌーイ形微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}+2xy=2x{y}^4$

解答.
$\frac{dy}{dx}+2xy=2x{y}^4$ の両辺を $y^4$ で除算して、$1-4=-3$ を乗算する。
$-3y-4\frac{dy}{dx}-6x{y}^{-3}=-6x$

ここで、$u=y^{-3}$ とおくと、$\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}$ となるため、
$\frac{du}{dx}-6xu=-6x$ となり、未知関数uに関する1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の公式を使用する。
積分因子 : $h(x)=e^{-\int 6xdx}$
$\begin{array}{rl}u& =e^{\int 6xdx}\{\int -6x{e}^{-\int 6xdx}dx+C\}\\ & =e^{3x^2}\{\int -6x{e}^{-3x^2}dx+C\}\\ & =e^z\{\int -6x{e}^{-z}dx+C\}(\because z=3x^2)\\ & =e^z(e^{-z}+C)\\ & =1+C{e}^z\end{array}$

ゆえに、$y^3=\frac{1}{1+C{e}^{3x^2}}\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$
$y=0$ となる解は、$C=+\mathrm{\infty }$ の場合に対応する。

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}+y\sin x=y^2\sin x$

解答.
これはベルヌーイ形微分方程式である。

与式の両辺に、$-y^{-2}$ を乗算すると、
$-y^{-2}\frac{dy}{dx}-y^{-1}\sin x=-\sin x\cdots (1)$

この時、$u=y^{-1}$ とおくと、$\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}\cdots (2)$ である。
上式(2)を上式(1)へ代入する。
$\frac{du}{dx}-u\sin x=-\sin x$

これは、1階線形微分方程式となるので、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
$\begin{array}{rl}u& =e^{\int \sin xdx}\{-\int \sin x{e}^{-\int \sin xdx}dx+C\}\\ & =e^{-\cos x}\{-\int \sin x{e}^{\cos x}dx+C\}\\ & =e^{-\cos x}(e^{\cos x}+C)\\ & =1+C{e}^{-\cos x}\end{array}$

$u=y^{-1}$ であるため、一般解は以下となる。
$\begin{array}{rl}y& =u^{-1}\\ & =\frac{1}{1+C{e}^{-\cos x}}\text{( C : 任 意 の 定 数 ) }\end{array}$

例題3.
次下の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{dy}{dx}+2x^{-1}y=-7x^2{y}^{\frac{4}{3}}$

解答.
与式は、ベルヌーイ形微分方程式である。
両辺に、$-\frac{1}{3}{y}^{-\frac{4}{3}}$ を乗算すると、
$-\frac{1}{3}{y}^{-\frac{4}{3}}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{3x}{y}^{-\frac{1}{3}}=\frac{7}{3}{x}^2$

$u=y^{-\frac{1}{3}}$ とおく時、$\frac{du}{dx}-\frac{2}{3x}u=\frac{7}{3}{x}^2$
これは1階線形微分方程式であるため、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用すると、
$\begin{array}{rl}u& =e^{\int \frac{2}{3x}dx}\{\int \frac{7}{3}{x}^2{e}^{-\int \frac{2}{3x}dx}dx+C\}\\ & =x^{\frac{2}{3}}(x^{\frac{7}{3}}+C)\because e^{\frac{2}{3}\ln x}==x^{\frac{2}{3}}\\ & =x^3+C{x}^{\frac{2}{3}}\end{array}$

したがって、一般解は以下となる。
$y^{-\frac{1}{3}}=x^3+C{x}^{\frac{2}{3}}\text{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }$

完全微分方程式

完全微分方程式とは

x, yを変数とする以下の微分方程式を考える。

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0\cdots (1)$

この時、上式(1)の左辺が、ある関数 $P(x,y)$ の微分 $dP=\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy$ になる時、
上式(1)を完全微分方程式という。

完全微分方程式は、$dP=0$ と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。
$P(x,y)=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

完全微分方程式の定理と判定

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ が完全微分方程式である。

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0⟺\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}$

完全微分方程式の一般解の公式(定理)

完全微分方程式 $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ の一般解は、次式で表される。
$\int f(x,y)dx+\int (g(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int f(x,y)dx)dy=C$

完全微分方程式の例

• $3x^2{y}^{4}dx+4x^3{y}^{3}dy=0$

理由
$P(x,y)=x^3{y}^4$ の時、$P_x(x,y)=3x^2{y}^4=f(x,y),P_y(x,y)=4x^3{y}^3=g(x,y)$ である。
さらに、以下の判定条件により、$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}$ が成立するため、完全微分方程式である。

• 判定条件

  $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(3x^2{y}^4)=12x^2{y}^3$

  $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(4x^3{y}^3)=12x^2{y}^3$

完全微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式が完全微分方程式であることを確かめよ。
また、この微分方程式の一般解を求めよ。
$(2x+y^2)dx+(2xy+3y^2)dy=0$

解答.
$f(x,y)=2x+y^2,g(x,y)=2xy+3y^2$ とおく時、$\frac{\partial f}{\partial y}=2y,\frac{\partial g}{\partial x}=2y$ であり、
$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x}$ が成立する。
判定条件が成立したので、完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式より、以下が成立する。
$\int (2x+y^2)dx+\int \{2xy+3y^2-\frac{\partial }{\partial y}\int (2x+y^2)dx\}dy$
$=x^2+x{y}^2+\int \{2xy+3y^2-\frac{\partial }{\partial y}(x^2+x{y}^2)\}dy$
$=x^2+x{y}^2+\int 3y^{2}dy$
$=x^2+x{y}^2+y^3$

ゆえに、一般解は次式となる。
$x^2+x{y}^2+y^3=C\text{( C : 任 意 の 定 数 )}$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
$(2x+e^y)dx+(1+x{e}^y)dy=0$

解答.
まず、$(2x+e^y)dx+(1+x{e}^y)dy=0$ が完全微分方程式であることを確認する。
$\frac{\partial }{\partial y}(2x+e^y)=e^y,\frac{\partial }{\partial x}(1+x{e}^y)=ey$
となるため、与式は完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式を適用する。
$\int (2x+e^y)dx+\int \{1+x{e}^y-\frac{\partial }{\partial y}\int (2x+e^y)dx\}dy$
$\int (2x+e^y)dx+\int \{1+x{e}^y-\int e^{y}dx\}dy$
$=x^2+x{e}^y+\int (1+x{e}^y-x{e}^y)dy$
$=x^2+x{e}^y+\int dy$
$=x^2+x{e}^y+y+C$

したがって、一般解は以下となる。
$x^2+x{e}^y+y=C\text{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }$