「ベクトル - 内積と外積」の版間の差分

2022年6月2日 (木) 04:23時点における版

概要

ベクトルの内積とは、ベクトル $\vec{v}$ に対して垂直な光を当てる時、ベクトル $\vec{v}$ 上にできるベクトル $\vec{w}$ の射影の長さと、元のベクトル $\vec{v}$ の長さとの積のことである。
ベクトル $\vec{v}, \vec{w}$ がある時、外積は $\vec{v} \cdot \vec{w}$ と表すため、ドット積とも呼ばれる。

ベクトルの外積とは、2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトルのことである。
ベクトル $\vec{v}, \vec{w}$ がある時、外積は $\vec{v} \times \vec{w}$ と表すため、クロス積とも呼ばれる。

ベクトルの外積は、線形代数において幅広く使われる重要な概念であるため、線形代数の幾何学的なイメージを深めることができる。

ベクトルの外積の幾何学的な意味

ベクトルの外積とは、2つのベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直方向に伸びる新しいベクトルである。(ベクトルの外積の解はベクトル)
ベクトルの外積で求められるベクトルの長さは、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積と等しくなる。

なお、垂直方向とは、平行四辺形に対して、真上の方向と真下の方向という2つの場合があり、外積の方向は、右手の法則で判断することができる。
$\vec{v}$ を人差し指、 $\vec{w}$ を中指とする場合、外積 $\vec{v} \times \vec{w}$ の方向は親指の方向となる。

ベクトルの外積の計算方法

ベクトルの外積の計算方法を、次式に示す。
$\begin{aligned} \vec{v} \times \vec{w} & = [\begin{array}{cc} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{cc} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] \\ = [\begin{array}{cc} v_{2} w_{3} - w_{2} v_{3} \\ - v_{1} w_{3} + w_{1} v_{3} \\ v_{1} w_{2} - w_{1} v_{2} \end{array}] \end{aligned}$

これは、次式のように、基底ベクトル $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ を1列目の要素に入れて、ベクトル $\vec{v}, \vec{w}$ をそれぞれ2列目と3列目の要素にした3次の行列式を解くことと同様である。
$\begin{aligned} \vec{v} \times \vec{w} & = [\begin{array}{cc} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{cc} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{cc} \hat{i} & v_{1} & w_{1} \\ \hat{j} & v_{2} & w_{2} \\ \hat{k} & v_{3} & w_{3} \end{array}]) \end{aligned}$

ベクトルの外積の長さ

ベクトルの外積の長さは、三平方の定理を用いて、次式のように求めることができる。
$\sqrt{(v_{2} w_{3} - w_{2} v_{3})^{2} + {- (v_{1} w_{3} + w_{1} v_{3})}^{2} + (v_{1} w_{2} - w_{1} v_{2})^{2}}$

ベクトルの外積の長さと、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は等しいため、この方法により、平行四辺形の面積を求めることもできる。

ベクトルの外積の性質

ある2つのベクトルの外積は、そのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。

$\vec{v} \times \vec{w} = - \vec{w} \times \vec{v}$
ベクトルの外積において、2つのベクトルを交換する時、ベクトルが伸びる方向が反対になるという性質がある。
$s \vec{v} \times \vec{w} = s (\vec{v} \times \vec{w})$
ベクトルの外積 $\vec{v} \times \vec{w}$ において、一方のベクトルがS倍になる時、その外積もS倍になる。

$S_{1} \vec{v} \times \vec{w} = S_{1} (\vec{v} \times \vec{w})$ または、 $\vec{v} \times S_{2} \vec{w} = S_{2} (\vec{v} \times \vec{w})$ である。

また、一方がS₁倍になり、他方がS₂倍になる時、外積はS₁ S₂倍になる。つまり、 $S_{1} \vec{v} \times S_{2} \vec{w} = (S_{1} S_{2}) (\vec{v} \times \vec{w})$ である。
平行するベクトルの外積は0
平行なベクトル同士の外積は、0になる。

これは、2つのベクトルが平行の場合、平行四辺形を作ることができず、その面積が0になるからである。

また、2つのベクトルが直交する場合、平行四辺形の面積が最大になるため、外積の長さも最大になる。

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
+ベクトルの内積とは、ベクトル <math>\vec{v}</math> に対して垂直な光を当てる時、ベクトル <math>\vec{v}</math> 上にできるベクトル <math>\vec{w}</math> の射影の長さと、元のベクトル <math>\vec{v}</math> の長さとの積のことである。<br>
+ベクトル <math>\vec{v}, \, \vec{w}</math> がある時、外積は <math>\vec{v} \cdot \vec{w}</math> と表すため、ドット積とも呼ばれる。<br>
+<br>
 ベクトルの外積とは、2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトルのことである。<br>
 ベクトル <math>\vec{v}, \, \vec{w}</math> がある時、外積は <math>\vec{v} \times \vec{w}</math> と表すため、クロス積とも呼ばれる。<br>