「ベクトル - 位置ベクトル」の版間の差分

2022年5月24日 (火) 01:12時点における版

概要

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $O A : A X = 3 : 2$ であるとする。
この時、 $\vec{O X}$ は、 $\vec{O A}$ を伸縮することによって表すことができ、 $\vec{O X} = \frac{5}{3} \vec{O A}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル $\vec{A C}$ が $\vec{A B}$ を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、 $\vec{A C} = k \vec{A B}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある  $⟺ \vec{A C} = k \vec{A B}$  となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m + n}) \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n}{m + n} \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{aligned}$

内分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、  $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$  と表すことができる。

この式 $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$ の分子 $n \vec{a} + m \vec{b}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m - n}) \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n}{m - n} \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m - n} \\ = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{aligned}$

外分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$  と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、 $\vec{x} = \frac{- (- n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}$ とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n} \\ = \frac{n}{m + n} \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \end{aligned}$
上式に、 $\vec{O A} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{O B} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$ を用いると次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{n}{m + n} (\binom{a_{x}}{a_{y}}) + \frac{m}{m + n} (\binom{b_{x}}{b_{y}}) \\ = \frac{1}{m + n} (\binom{n a_{x}}{n a_{y}}) + \frac{1}{m + n} (\binom{m b_{x}}{m b_{y}}) \\ = \frac{1}{m + n} (\binom{n a_{x} + m b_{x}}{n a_{y} + m b_{y}}) \end{aligned}$
したがって、点Xの座標は $(\frac{n a_{x} + m b_{x}}{m + n}, \frac{n a_{y} + m b_{y}}{m + n})$ となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O Y} & = \frac{- n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m - n} \\ = \frac{- n}{m - n} \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \end{aligned}$
これに、 $\vec{O A} = (\binom{a_{x}}{a_{y}}), \vec{O B} = (\binom{b_{x}}{b_{y}})$ を用いると次式となる。
$\begin{aligned} \vec{O X} & = \frac{- n}{m - n} (\binom{a_{x}}{a_{y}}) + \frac{m}{m - n} (\binom{b_{x}}{b_{y}}) \\ = \frac{1}{m - n} (\binom{- n a_{x}}{- n a_{y}}) + \frac{1}{m - n} (\binom{m b_{x}}{m b_{y}}) \\ = \frac{1}{m - n} (\binom{- n a_{x} + m b_{x}}{- n a_{y} + m b_{y}}) \end{aligned}$
したがって、点Yの座標は、 $(\frac{- n a_{x} + m b_{x}}{m - n}, \frac{- n a_{y} + m b_{y}}{m - n})$ となる。

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 また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
 <u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
+<br>
+==== 例題1. 内分点と外分点の座標 ====
+ 原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
+ また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。
+<br>
+内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\overrightarrow{OX} &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} \\
+&= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB}
+\end{align}
+</math><br>
+上式に、<math>\overrightarrow{OA} = \binom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \binom{b_x}{b_y}</math>を用いると次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\overrightarrow{OX} &= \frac{n}{m + n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m + n} \dbinom{b_x}{b_y} \\
+&= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x}{na_y} + \frac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\
+&= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y}
+\end{align}
+</math><br>
+したがって、点Xの座標は<math>\boldsymbol { \left( \frac{na_x + mb_x}{m + n}, \quad \frac{na_y + mb_y}{m + n} \right) }</math>となる。<br>
+<br>
+また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\overrightarrow{OY} &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\
+&= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB}
+\end{align}
+</math><br>
+これに、<math>\overrightarrow{OA} = \dbinom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \dbinom{b_x}{b_y}</math>を用いると次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\overrightarrow{OX} &= \frac{-n}{m - n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m - n} \dbinom{b_x}{b_y} \\
+&= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x}{-na_y} + \frac{1}{m - n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\
+&= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x + mb_x}{-na_y + mb_y}
+\end{align}
+</math><br>
+したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]