畳み込み積分

概要

次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。

この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。
$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$
​
$y(t)=f(t)*g(t)$ あるいは $y=f*g$ と記述されることもある。

また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。
$\begin{array}{rl}y(t)& =f*g=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{-\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-u)g(u)(-1)du\because u=t-\tau ,-du=d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(u)f(t-u)du\\ & =g*f\end{array}$

システムの安定性

BIBO安定条件
$|x(t)|<M⟹|y(t)|<N$

因果性システムの線形時不変の場合、$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|g(t)|dt<\mathrm{\infty }$ で安定する。

畳み込み積分の計算例

下図に示す系があるとする。

入力関数 : $f(t)=1\cdots t\ge 0$
応答関数 : $g(t)=2(1-\frac{t}{5})$

$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$ より、

$t<0$ の時
$f(\tau )$ と $g(t-\tau )$ の重なる部分が無いため、$y(t)=0$

$t=1$ の時
$\begin{array}{rl}y(t)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(\tau )g(1-\tau )d\tau \\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}2(1-\frac{1}{5}+\frac{\tau }{5})d\tau \\ & =2{[\frac{4}{5}\tau +\frac{{\tau }^2}{10}]}_0^1\\ & =2(\frac{4}{5}+\frac{1}{10})\\ & =\frac{9}{5}\end{array}$

$t=5$ の時
$\begin{array}{rl}y(t)& =\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(\tau )g(5-\tau )d\tau \\ & =\underset{0}{\overset{5}{\int }}2(1-1+\frac{\tau }{5})d\tau \\ & =2{\left[\frac{{\tau }^2}{10}\right]}_0^5\\ & =2\frac{5}{2}\\ & =5\end{array}$

$0\le t\le 5$ の時
$\begin{array}{rl}y(t)& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}2(1-\frac{t}{5}+\frac{\tau }{5})d\tau \\ & =2{[\tau -\frac{t}{5}\tau +\frac{{\tau }^2}{10}]}_0^t\\ & =2(t-\frac{t^2}{5}+\frac{t^2}{10})\\ & =2t-\frac{t^2}{5}\end{array}$

下図に、畳み込み積分の出力波形を示す。

$\{\begin{array}{ll}y(t)& =0\cdots t<0\\ y(t)& =2t-\frac{t^2}{5}\cdots 0\le t\le 5\\ y(t)& =5\cdots t>0\end{array}$