ロピタルの定理

概要

ロピタルの定理は、ある値 $c$の区間 $(-\mathrm{\infty }\leqq c\leqq \mathrm{\infty })$ を含むある区間Iがあり、関数$f,g$ はその内部で微分可能で、
$\lim x\to cf(x)=\lim x\to cg(x)$ かつその値が $0$ または $\pm \mathrm{\infty }$ であり、
かつ、極限 $\lim x\to c\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ が存在し、
かつ、区間Iにおける $c$ の除外近傍において、$\frac{dg(x)}{dx}\ne 0$ が成り立つならば、$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ であることを主張する。

つまり、分子と分母を微分することにより、不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換して、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。

ロピタルの定理

ロピタルの定理は、以下に示す2つの条件が前提となっている。

• $\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$ が存在すること。
• $x$ の収束先(極限の近くで)が実数である場合、$\frac{dg(x)}{dx}\ne 0$ となること。

定理 :

aを実数とする。
aの周辺（つまり、ある $\gamma >0$ が存在して、$a-\gamma <x<a,a<x<a+\gamma$ )において、$f(x)$ と $g(x)$ は微分可能とする。
また、$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ とする。

この時、$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$ が存在（実数に収束）し、
かつ、$\frac{dg(x)}{dx}\ne 0(a-\gamma <x<a,,a<x<a+\gamma )$ ならば、
$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$

ロピタルの定理は、極限の計算のために微分を使用するが、微分の計算には極限の計算が必要である。
そのため、循環論法に陥ることがある。

例えば、$\sin x$ の微分を用いて $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ を計算する場合、
$\sin x$ の微分の計算には $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ が必要となる。

このような問題点もあるので、ロピタルの定理は値の確認用として使用することを推奨する。<vr>

ロピタルの定理が使用できる場合

例題1 :
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$

解答 :
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1$⁡

例題2 :
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$

解答 :
$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{6x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{6}\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$ 

例題3 :
$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\log (x)}{x-1}$

解答 :
$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\log (x)}{x-1}=\frac{1}{x}=1$

例題4 :
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{e^x}$

解答 :
$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{e^x}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x}{e^x}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{e^x}\\ & =0\end{array}$

ロピタルの定理が使用できない場合

上記の2つの条件が成立していない場合は、ロピタルの定理は使用できない。
以下の例では、$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$ が存在するという条件が満たされない場合である。

$M=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x-\cos x}{x}$

上記の例は、$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ の不定形なのため、ロピタルの定理を使用すると、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+\sin x}{1}$ となり振動する。

この場合、はさみうちの原理を用いると $M=1$ であることがわかる。

# はさみうちの定理を使用する場合

$-1\leqq \cos x\leqq 1$ である。
上式の両辺に $x$ を加え、さらに符号をそろえると、$x-1\leqq x-\cos x\leqq x+1$ となる。

$x\to \mathrm{\infty }$ では十分大きい $x>0$ を考えられるので、
各辺を $x$ で除算すると、$1-\frac{1}{x}\leqq \frac{x-\cos x}{x}\leqq 1+\frac{1}{x}$ を得る。

ここで、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{x})=1$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{x})=1$ である。

したがって、はさみうちの定理より、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x-\cos x}{x}=1$ となる。