論理数学 - 写像

概要

写像 (関数) とは、ある集合Aの全ての要素に対して、集合Bの要素をただ1つ返すものである。

この時、集合Aを始域または定義域、集合Bを終域、関数の対応先となり得る集合𝐵の部分集合を値域という。

写像の定義

定義 :

集合Aの全ての要素に対して、その要素を入力すると集合Bの特定の要素をただ1つ出力するものを関数 (function) または 写像 (mapping) という。
この時、集合Aをその写像の始域または定義域 (domain) といい、集合Bを終域 (codomain) という。

また、集合Aを入力したときの出力となり得る集合Bの部分集合全体を関数 (写像) の値域 (像 range) という。

写像についての注意点を、以下に示す。

• 始域Aの全ての要素において、終域Bの要素をただ1つ返すこと。
• 始域Bの要素であれば、どの要素を返してもよい。
  始域Aの各々の要素に対して、終域Bの同じ要素を返してもよい。
  また、終域Bの全ての要素を対応付ける必要はない。
• 終域は、値域と呼ばれることもある。

恒等写像

定義 :

集合X上の写像 (定義域Xと終域Xが同一である写像) において、$\mathrm{\forall }a\in X$ に対して $f(a)=a$ が成り立つ時、$f$ を $X$ 上の恒等写像という。

補足 :
$\mathrm{\forall }a\in X$ は、集合Xの任意の要素aという意味である。

写像の表記

写像は関数 (function) の頭文字を用いて、$f$と表記されることが多い。
2つ以上の写像がある場合は、アルファベット順に$f,g,h,\cdots$ 等と表記する。

始域が集合A、終域が集合Bである写像 $f$ を、$f:A⟶B$ と記述する。

集合Aの各要素 $x\in A$ に対して、それに対応する集合Bの要素が $y\in B$ であるとき、これを $f(x)=y$ または $f:x⟼y,x\stackrel{f}{⟼}y$ と記述する。

また，終域・値域は、$f(A)=\{f(x)\in B|x\in A\}$ と記述する。

写像の例

$R$ は実数全体の集合、$Z$ は整数全体の集合を表す。

例題 1:

$f:\{a,b,c,\cdots ,z\}⟶\{A,B,C,\cdots ,Z\}$ があるとする。
この写像は、英語の小文字を入力する時、その大文字を出力する。

この時、$f(a)=A,f(b)=B$ であり、終域・値域は $\{A,B,C,\cdots ,Z\}$ である。

例題 2:

$f:\mathbb{\mathbb{Z}}⟶\mathbb{\mathbb{Z}}$ があるとする。
この写像は、整数を入力する時、2で剰余した値を出力する。

この時、$3⟼1,8⟼0$ であり、値域は $\{0,1\}$ である。

例題 3:

$f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$ があるとする。
この写像は、$f(x)=x^2$ と定義する。

この時、$f(0)=0,f(2)=4$ であり、値域は $\{x\in R|x\ge 0\}$ である。

単射

定義 :

始域Xから終域Yへの写像fが $\mathrm{\forall }{x}_1\in X,\mathrm{\forall }{x}_2\in X$ に対して、常に $x_1\ne x_2\to f(x_1)\ne f(x_2)$ を満たす時、
写像fは単射 (１対１対応) であるという。

補足 :
対偶 $\mathrm{\forall }{x}_1\in X,\mathrm{\forall }{x}_2\in X$ に対して、常に $f(x_1)=f(x_2)\to x_1=x_2$ を満たす、と同義である。

図(a). 単射の例
図(b). 単射でない例

全射

定義 :

始域Xから終域Yへの写像fについて、$\mathrm{\forall }y\in Y$ に対して、常に $y=f(x)$ を満たす要素 $x\in X$ が存在する時、
写像fは全射（上への対応）であるという。

図(a). 全射の例
図(b). 全射でない例

全単射

定義 :

全射であり、かつ、単射である写像を全単射 (上への１対1対応) という。

図(a). 単射の例
図(b). 全射の例
図(c). 全単射の例

逆写像

定義 :

集合Xから集合Yへの写像fが全単射である時、$\mathrm{\forall }y\in Y$ に対して、
$y=f(x)$ を満たす要素 $x\in X$ を対応させる写像をfの逆写像といい、$f^{-1}$ で表す。

$y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)$

図(a). 写像
図(b). 逆写像

例 :
$f(x)=2x+1$ の逆写像 $y=2x+1$ とおき、xについて解く。

$\begin{array}{lcl}2x& =& y-1\\ x& =& \frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\end{array}$

したがって、
$f^{-1}(y)=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$

一般的に、写像はxの式で表すので、yをxに置き換えて次式のように表す。
$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$

逆像

定義 :

始域Xから終域Yへの写像$f:X\to Y$ とYの部分集合Bが与えられた時、

Xの部分集合 $f^{-1}(B)=\{x|x\in X,f(x)\in B\}$ をfによるBの逆像という。


補足 :
多価写像に対しても、上と同様に逆像が定義される。

例 :

$f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ を $f(x)=x^2$ とする。
この時、$f([1,2])=[1,4]$ である。

図. 像・逆像のイメージ

また、$f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2]$ である。

図. 像・逆像の例 $y=x^2$

恒等写像

全ての元を同じものに写す写像を恒等写像とよぶ。

定義 :

写像 $f:A\to A$ が、任意の $a\in A$ に対して $f(a)=a$ を満たす時、fを恒等写像という。
この時、$f=i{d}_A$ と記述することがある。

写像の合成

定義 :

写像 $f:X\to Y$ と写像 $g:Y\to Z$ に対して、
$x⟼g(f(x))$ で定められる写像 $h:X\to Z$ をfとgの合成写像といい、
$h=g\circ f\text{or}h(x)=g\circ f(x)\equiv g(f(x))$
で表す。

図. 合成写像

補足 :
写像の合成は、合成の順序に依存することに注意する。
$g\circ f\ne f\circ g$

例 :
$f(x)=x^2,g(x)=x+1$ の時、

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1$
$f\circ g(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$