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<math>f(x)</math> が絶対可積分ならば、以下が成立する。 (逆は成立するとは限らない) | <math>f(x)</math> が絶対可積分ならば、以下が成立する。 (逆は成立するとは限らない) | ||
<math>\lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} = 0</math> | <math>\lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} = 0</math> | ||
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==== 無限積分の例題 ==== | |||
例題: | |||
以下の無限積分を求めよ。 | |||
<math>\int_{0}^{+ \infty} {e^{-x} \, dx}</math> | |||
解答: | |||
無限積分の定義に従って書き下して計算する。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{0}^{+ \infty} {e^{-x} \, dx} &= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta} {e^{-x} \, dx}} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ -e^{-x} \Big]_{0}^{\beta} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {(-e^{- \beta} + e^{0})} \\ | |||
&= \lim_{\beta \to + \infty} {(-e^{- \beta} + 1)} \\ | |||
&= 0 + 1 \qquad \because \lim_{\beta \to \infty} {-e^{- \beta}} = 0 \\ | |||
&= 1 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
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