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<math>- \infty</math> から <math>+ \infty</math> で定義された区分的に連続な関数 <math>f(x)</math> に対して、無限区間の定積分を以下で定義する。 | <math>- \infty</math> から <math>+ \infty</math> で定義された区分的に連続な関数 <math>f(x)</math> に対して、無限区間の定積分を以下で定義する。 | ||
<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} {f(x) \, dx} = \lim_{\begin{matrix} \alpha \to - \infty \\ \beta \to + \infty \end{matrix}} {f(x) \, dx}</math> | <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} {f(x) \, dx} = \lim_{\begin{matrix} \alpha \to - \infty \\ \beta \to + \infty \end{matrix}} {f(x) \, dx}</math> | ||
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==== 無限積分の収束 ==== | |||
定理: | |||
<math>x \ge a</math> で定義された区分的に連続な関数 <math>f(x)</math> に対して、 | |||
<math>\int_{a}^{+ \infty} {|f(x)| \, dx} \le M</math> | |||
を満たす定数Mが存在すれば、以下の無限積分は収束する。 | |||
<math>\int_{a}^{+ \infty} {f(x) \, dx}</math> | |||
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==== 絶対可積分な関数 ==== | |||
定義: | |||
<math>f(x)</math> が以下を満たすとき、 <math>f(x)</math> は絶対可積分(absolutely integrable)であるという。 | |||
<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} { \Big| f(x) \Big| \, dx} \le M \qquad ( \mbox{M : 正 の 定 数 } )</math> | |||
<math>f(x)</math> が絶対可積分ならば、以下が成立する。 (逆は成立するとは限らない) | |||
<math>\lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} = 0</math> | |||
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