ページの作成:「== 概要 == <br><br> == 一般解と特殊解 == n階常微分方程式の初期値問題において、n個の任意定数を含む解を、一般解という。<br> 一般解の任意定数に特別な値を代入して得られる解を、特殊解(特別解または特解)という。<br> <br> 1つの定数Cに対して、以下の初期値問題の解曲線を <math>y = y(x, C)</math> とする。<br> <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y) \qquad \mbox{( 1 階 常…」 |
|||
| 120行目: | 120行目: | ||
人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。<br> | 人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。<br> | ||
<math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (時刻tにおける人口 : x(t))<br> | <math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (時刻tにおける人口 : x(t))<br> | ||
<br> | |||
人口(一般に生物の個体数)の増加は、その時点での人口に比例する。<br> | |||
時刻tにおける人口をx(t)とする時、以下に示す微分方程式が成立する。<br> | |||
<math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (マルサスの法則)<br> | |||
一般解は、<math>x = C e^{kt} \qquad</math> (Cは、任意定数)<br> | |||
<br> | |||
kは出生率aと死亡率bとの差 <math>a - b</math> である。(kは増殖率と呼ばれる)<br> | |||
<math>k > 0</math> (出生率 > 死亡率)ならば、人口は時間とともに指数関数的に増加する。<br> | |||
<br> | |||
* マルサスの法則 | |||
*: まだ、人口が少なく、食住環境が良好ならば、人口はマルサスの法則に従う。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - b)x</math> | |||
*: <br> | |||
* ロジスティック方程式 (死亡率bが人口に比例) | |||
*: 一方、次第に人口が増加し、食料や住居環境が悪くなってくると、人口増加は抑制される。 | |||
*: 例えば、食料の供給が制限されると、死亡率は一定ではなく、人口に比例する。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - bx)x</math> | |||
*: <br> | |||
* ゴムパーツ方程式 (死亡率bが人口の対数に比例) | |||
*: または、人口の対数に比例する。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - b \, \ln{x})x</math> | |||
<br> | |||
==== ニュートンの運動方程式 ==== | ==== ニュートンの運動方程式 ==== | ||
物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。<br> | 物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。<br> | ||