「ベクトル - 位置ベクトル」の版間の差分

2022年5月23日 (月) 01:49時点における版

概要

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $O A : A X = 3 : 2$ であるとする。
この時、 $\vec{O X}$ は、 $\vec{O A}$ を伸縮することによって表すことができ、 $\vec{O X} = \frac{5}{3} \vec{O A}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル $\vec{A C}$ が $\vec{A B}$ を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、 $\vec{A C} = k \vec{A B}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある  $⟺ \vec{A C} = k \vec{A B}$  となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m + n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m + n}) \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n}{m + n} \vec{O A} + \frac{m}{m + n} \vec{O B} \\ = \frac{n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{aligned}$

内分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、  $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$  と表すことができる。

この式 $\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$ の分子 $n \vec{a} + m \vec{b}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである $\vec{x}$ は、 $\vec{a}, \vec{b}, m, n$ を用いて、次式のように表すことができる。
$\begin{aligned} \vec{x} & = \vec{O X} \\ = \vec{O A} + \vec{A X} ∵ ベクトルの分解 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{A B} ∵ ベクトルの伸縮 \\ = \vec{O A} + \frac{m}{m - n} (\vec{O B} - \vec{O A}) ∵ 始点を O にする \\ = (1 - \frac{m}{m - n}) \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n}{m - n} \vec{O A} + \frac{m}{m - n} \vec{O B} \\ = \frac{- n \vec{O A} + m \vec{O B}}{m - n} \\ = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{aligned}$

外分点の位置ベクトル

2点 $A (\vec{a}), B (\vec{b})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点 $X (\vec{x})$ において、 $\vec{x}$ は、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$  と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、 $\vec{x} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、 $\vec{x} = \frac{- (- n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}$ とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

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 <br>
 この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。<br>
+<br>
+==== 外分点の位置ベクトル ====
+下図のように、点Oに関して2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
+&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\
+&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\
+&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\
+&= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
+&= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
+&= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\
+&= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+ 外分点の位置ベクトル
+点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> と表すことができる。
+<br>
+この式では、<u>"m:nに外分すること"</u>は、<u>"m:-nに内分すること"</u>と等しいことが分かる。<br>
+また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
+<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]