「多重積分」の版間の差分 - MochiuWiki : SUSE, EC, PCB

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積分領域が変数に依存する積分から実行して、他の変数の積分の被積分関数を決定させる必要がある。

例題. 次の重積分を求めよ。

(1) <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy</math>

(2) <math>\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>

(1)

積分領域は右図のようになる。

被積分関数が変数分離できる形であるが、yの積分がxに依存しているため、まず、yで積分する。

<math>

\begin{align}

& \int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy \\

=& \int_{0}^{1} x \, dx \biggl [ -e^{-y} \biggr ]_{0}^{-x^{2} + 1} \\

=& \int_{0}^{1} x (-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx

\end{align}

</math>

次に、xで積分する。

<math>

\begin{align}

\int_{0}^{1} x(-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx &= \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\

&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \left [ \frac{1}{2} e^{x^{2} - 1} \right ]_{0}^{1} \\

&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\

&= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx

\end{align}

</math>

ここで、第2項において、<math>u = x^2 - 1</math>とおいて変数変換を行う。

<math>u = x^2 - 1 \quad \mbox{より } \quad \frac{du}{dx} = 2x \quad \frac{du}{2} = x dx</math> となる。

また、<math>x = 0 \to u = -1, \quad x = 1 \to u = 0</math> となる。

上記を代入すると、以下のようになる。

<math>

\begin{align}

\frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx &= \frac{1}{2} - \int_{-1}^{0} \frac{e^{u}}{2} \, du \\

&= \frac{1}{2} - \biggl [ \frac{e^{u}}{2} \biggl ]_{-1}^{0} \\

&= \frac{1}{2} - \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} \right ) \\

&= \frac{1}{2e}

\end{align}

</math>

(2)

まず、yでの積分がxに依存しているため、yで積分する。

<math>

\begin{align}

\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\

&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \left \{ 8x^{3}-(x + x^{2})^{3} \right \} \, dx \\

&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx

\end{align}

</math>

次に、xで積分する。

<math>

\begin{align}

\frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx &= \frac{1}{3} \left [ - \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{6} - \frac{3}{5} x^{5} + \frac{7}{4} x^{4} \right ]_{0}^{1} \\

&= \frac{1}{3} \left ( - \frac{1}{7} - \frac{1}{2} - \frac{3}{5} + \frac{7}{4} \right ) \\

&= \frac{71}{420}

\end{align}

</math>

== 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がある場合 ==

上記までのパターンでは、積分領域が比較的単純だった。

しかし、積分領域が複雑になる場合、計算が煩雑になったり、そもそも与えられた座標系では解析的に積分できない場合がある。

その場合には、座標変換によって積分変数の変換を行い、積分領域を単純化した上で積分計算を進めていく。

積分変数の変換は、次のように行う。

ある多変数関数f(x1, ..., xn)について、領域Dにわたって積分することを考える。

<math>\int_{D} f(x_{1}, \cdots ,x_{n}) \, dx_{1} \cdots dx_{n}</math>

ここで、<math>(x_{1}, \cdots, x_{n}) \to (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})</math>の変数変換を行う場合、変数変換後の領域をD'とする時、

上記の積分は、次式のようになる。

<math>

\begin{align}

& \int_{D} f(x_{1}, \cdots, x_{n}) \, dx_{1} \cdots dx_{n} \\

=& \int_{D'} \left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right | d \alpha_{1} \cdots d \alpha_{n} \quad f(x_{1} (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}), \cdots, x_{n}(\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{n}))

\end{align}

</math>

ここで、<math>\left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right |</math> は、ヤコビアンの絶対値である。

すなわち、積分変数を変換したのち、被積分関数にヤコビアンの絶対値を乗算すればよい。

__FORCETOC__

[[カテゴリ:解析学]]

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 積分領域が変数に依存する積分から実行して、他の変数の積分の被積分関数を決定させる必要がある。<br>
+<br>
+ 例題. 次の重積分を求めよ。
+ (1) <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy</math>
+ (2) <math>\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>
+<br>
+(1)<br>
+積分領域は右図のようになる。
+被積分関数が変数分離できる形であるが、yの積分がxに依存しているため、まず、yで積分する。<br>
+<math>
+\begin{align}
+&  \int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy \\
+=& \int_{0}^{1} x \, dx \biggl [ -e^{-y} \biggr ]_{0}^{-x^{2} + 1} \\
+=& \int_{0}^{1} x (-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+次に、xで積分する。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{0}^{1} x(-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx &= \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\
+&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \left [ \frac{1}{2} e^{x^{2} - 1} \right ]_{0}^{1} \\
+&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\
+&= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+ここで、第2項において、<math>u = x^2 - 1</math>とおいて変数変換を行う。<br>
+<math>u = x^2 - 1 \quad \mbox{よ り } \quad \frac{du}{dx} = 2x \quad \frac{du}{2} = x dx</math> となる。<br>
+また、<math>x = 0 \to u = -1, \quad x = 1 \to u = 0</math> となる。<br>
+<br>
+上記を代入すると、以下のようになる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx &= \frac{1}{2} - \int_{-1}^{0} \frac{e^{u}}{2} \, du \\
+&= \frac{1}{2} - \biggl [ \frac{e^{u}}{2} \biggl ]_{-1}^{0} \\
+&= \frac{1}{2} - \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} \right ) \\
+&= \frac{1}{2e}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+(2)<br>
+まず、yでの積分がxに依存しているため、yで積分する。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\
+&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \left \{ 8x^{3}-(x + x^{2})^{3} \right \} \, dx \\
+&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+次に、xで積分する。<br>
+<math>
+\begin{align}
+\frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx &= \frac{1}{3} \left [ - \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{6} - \frac{3}{5} x^{5} + \frac{7}{4} x^{4} \right ]_{0}^{1} \\
+&= \frac{1}{3} \left ( - \frac{1}{7} - \frac{1}{2} - \frac{3}{5} + \frac{7}{4} \right ) \\
+&= \frac{71}{420}
+\end{align}
+</math><br>
+<br><br>
+== 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がある場合 ==
+上記までのパターンでは、積分領域が比較的単純だった。<br>
+しかし、積分領域が複雑になる場合、計算が煩雑になったり、そもそも与えられた座標系では解析的に積分できない場合がある。<br>
+<br>
+その場合には、座標変換によって積分変数の変換を行い、積分領域を単純化した上で積分計算を進めていく。<br>
+<br>
+積分変数の変換は、次のように行う。<br>
+ある多変数関数f(x1, ..., x<sub>n</sub>)について、領域Dにわたって積分することを考える。<br>
+<math>\int_{D} f(x_{1}, \cdots ,x_{n}) \, dx_{1} \cdots dx_{n}</math><br>
+ここで、<math>(x_{1}, \cdots, x_{n}) \to (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})</math>の変数変換を行う場合、変数変換後の領域をD'とする時、<br>
+上記の積分は、次式のようになる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+& \int_{D} f(x_{1}, \cdots, x_{n}) \, dx_{1} \cdots dx_{n} \\
+=& \int_{D'} \left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right | d \alpha_{1} \cdots d \alpha_{n} \quad f(x_{1} (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}), \cdots, x_{n}(\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{n}))
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+ここで、<math>\left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right |</math> は、ヤコビアンの絶対値である。<br>
+すなわち、積分変数を変換したのち、被積分関数にヤコビアンの絶対値を乗算すればよい。<br>
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 [[カテゴリ:解析学]]