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(1) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 独 立 } \iff W[y_1, \, y_2] \ne 0</math><br> | (1) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 独 立 } \iff W[y_1, \, y_2] \ne 0</math><br> | ||
(2) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 従 属 } \iff W[y_1, \, y_2] = 0</math><br> | (2) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 従 属 } \iff W[y_1, \, y_2] = 0</math><br> | ||
<br><br> | |||
== 同次方程式の解 == | |||
定理5 ： | |||
集合Vを定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = 0</math> の解全体の集合とする。 | |||
この時、線形独立な2つの関数 <math>y_1,\, y_2 \, \in \, V</math> が存在し、任意の関数 <math>y \, \in \, V</math> は、y1とy2の線形結合 <math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math>で、ただ1通りに表される。 | |||
<br> | |||
上記のような線形独立な解の組 (y1, y2) を基本解という。<br> | |||
基本解は、線形代数でいう基底ベクトルに対応する。<br> | |||
<br> | |||
定理の意味 ： | |||
基本解 y1, y2が見つかれば、他の全ての解（一般解）yもそれらを使って、以下のように表すことができる。 | |||
<math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 (C_1, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math> | |||
<br> | |||
基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br> | |||
<br> | |||
[[ファイル:Solution of Homogeneous Equations 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<br><br> | |||
== 非同次方程式の解 == | |||
定理6 ： | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math> の1つの特殊解をvとする。 | |||
この時、上式(1)の解yは、定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式) <math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x) \frac{dy}{dx} + f_2(x) y = 0 \quad \cdots \quad (2)</math> の基本解 y1, y2を使用して、 | |||
次式のように記述できる。 | |||
<math>y = (C_1 y_1 + C_2 y_2) + v \quad (C_1, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math> | |||
<br><br> | |||
== 同次方程式の例題 == | |||
例題1 : | |||
微分方程式 <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \quad \cdots \quad (1)</math> と関数 <math>y_1 = e^x, \quad y_2 = e^{2x}</math> について以下の問いに答えよ。 | |||
(1) <math>y_1, \, y_2</math> は、上式(1)の解であることを示せ。 | |||
(2) y1とy2は、任意の区間で線形独立であることを示せ。 | |||
(3) y1とy2の線形結合の関数 <math>y = 2e^x - e^{2x}</math> も上式(1)の解であることを示せ。 | |||
<br> | |||
==== 例題1 (1)の解答 ==== | |||
<math>y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}</math> がともに方程式 <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \quad \cdots \quad (1)</math> を満たすことを示せばよい。<br> | |||
<br> | |||
<math>y_1 = e^x</math> について、<math>\frac{dy_1}{dx} = e^x, \quad \frac{d^2 y_1}{dx^2} = e^x</math> なので、上式(1)の左辺に代入すると、<br> | |||
<math>\frac{d^2 y_1}{dx^2} - 3 \frac{dy_1}{dx} + 2 y_1 = e^x - 3 e^x + 2 e^x = 0</math><br> | |||
ゆえに、<math>y_1 = e^x</math> は、上式(1)の解である。<br> | |||
<br> | |||
<math>y_2 = e^{2x}</math> について、 <math>\frac{dy_2}{dx} = 2 e^{2x}, \quad \frac{d^2 y_2}{dx^2} = 4 e^{2x}</math> なので、上式(1)の左辺に代入して、<br> | |||
<math>\frac{d^2 y_2}{dx^2} - 3 \frac{dy_2}{dx} + 2 y_2 = 4 e^{2x} - 3 \times 2 e^{2x} + 2 e^{2x} = 0</math><br> | |||
<br> | |||
ゆえに、<math>y_2 = e^{2x}</math> は、上式(1)の解である。<br> | |||
<br> | |||
==== 例題1 (2)の解答 ==== | |||
ロンスキー行列式 <math>W [y_1, \, y_2]</math> を計算して、線形独立性を判定する。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
W [ y_1, y_2 ] &= | |||
\begin{vmatrix} | |||
y_1 & y_2 \\ | |||
\frac{d y_1}{dx} & \frac{d y_2}{dx} | |||
\end{vmatrix} | |||
= | |||
\begin{vmatrix} | |||
e^x & e^{2x} \\ | |||
e^x & 2 e^{2x} | |||
\end{vmatrix} \\ | |||
&= 2 e^{3x} - e^{3x} \\ | |||
&= e^{3x} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
ゆえに、<math>W [y1, \, y2]</math> は、任意の区間で零関数ではないため、y1とy2とは線形独立である。<br> | |||
<br> | |||
==== 例題1 (3)の解答 ==== | |||
<math>y = 2 e^x - e^{2x}</math> が方程式 <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \quad \cdots \quad (1)</math> を満たすことを示せばよい。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} (2 e^x - e^{2x}) \\ | |||
&= 2 e^x - 2 e^{2x} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{d^2 y}{dx^2} &= \frac{d2}{dx} (2 e^x - 2 e^{2x}) \\ | |||
&= 2 e^x - 4 e^{2x} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
これらを、上式(1)の左辺に代入すると、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
(2 e^x - 4 e^{2x}) - 3(2 e^x - 2 e^{2x}) + 2(2 e^x - 2 e^{2x}) &= 2 e^x - 4 e^{2x} - 6 e^x + 6 e^{2x} + 4 e^x - 2 e^{2x} \\ | |||
&= (2 e^x - 6 e^x + 4 e^x) + (- 4 e^{2x} + 6 e^{2x}- 2 e^{2x}) \\ | |||
&= 0 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
ゆえに、 <math>y = 2 e^x - e^{2x}</math> は、上式(1)の解である。<br> | |||
<br><br> | |||
== 特性方程式 == | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0 \quad \cdots \quad (1)</math> に対して、以下をこの方程式の特性方程式（characteristic equation）という。<br> | |||
<br> | |||
<math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0 \quad \cdots \quad (2)</math><br> | |||
<br> | |||
上式(2)の特性方程式の解λ1, λ2が分かれば、上式(1)の基本解y1, y2を求めることができる。<br> | |||
したがって、定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の一般解を求めるには、特性方程式を解けばよいことになる。<br> | |||
<br> | |||
特性方程式 <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> の解は、判別式 <math>D = a^2 - 4b</math> の値により以下の3種類が考えられる。<br> | |||
# <math>D > 0</math> のとき | |||
#: 相異なる2つの実数解をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = \alpha, \, \beta</math> | |||
#: <br> | |||
# <math>D = 0</math> のとき | |||
#: 1つの実数解（重解）をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = \alpha</math> | |||
#: <br> | |||
# <math>D < 0</math> のとき | |||
#: 共役な2つの複素数解をもつ。 | |||
#: <math>\lambda = p \pm q i</math> | |||
<br> | |||
定理 ： | |||
定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math> の基本解と一般解は、特性方程式の解の種類により以下の3通り（1）（2）（3）で求められる。 | |||
(1) 実数解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の相異なる2つの実数解： <math>\lambda = \alpha, \, \beta</math> | |||
基本解： <math>(e^{\alpha x}, \, e^{\beta x})</math> | |||
一般解： <math>y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math> | |||
(2) 実数重解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の1つの実数解（重解）： <math>\lambda = \alpha</math> | |||
基本解： <math>(e^{\alpha x}, \, x e^{\alpha x})</math> | |||
一般解： <math>\begin{align}y &= C_1 e^{\alpha x} + C_2 x e^{\alpha x} \\ &= (C_1 + C_2 x) e^{\alpha x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 }) \end{align}</math> | |||
(3) 共役複素数解の場合 ： | |||
特性方程式： <math>\lambda^2 + a \lambda + b = 0</math> | |||
特性方程式の共役な2つの複素数解： <math>\lambda = p \pm qi</math> | |||
基本解： <math>(e^{px} \cos{qx}, \, e^{px} \sin{qx})</math> | |||
一般解： <math>\begin{align} y &= C_1 e^{px} \cos{qx} + C_2 e^{px} \sin{qx} \\ &= (C_1 \cos{qx} + C_2 \sin{qx}) e^{px} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 }) \end{align}</math> | |||
<br><br> | |||
== 定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の例題 == | |||
例題 1 ： | |||
以下の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0</math> | |||
<br> | |||
解答 : <br> | |||
上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0</math> より、特性方程式の解は <math>\lambda = 2, \, 3</math> （2つの実数解）<br> | |||
したがって、基本解の組は <math>(e^{2x}, \, e^{3x})</math> である。<br> | |||
<br> | |||
よって、一般解は次式となる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | |||
<br><br> | |||
== 定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) == | |||
定理 : | |||
定数係数2階線形微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の一般解yは、次式で求めることができる。 | |||
<math>y = \mbox{ 同 次 方 程 式 の 一 般 解 } + \mbox{ 非 同 次 方 程 式 の 特 殊 解 }</math> | |||
<br> | |||
定数係数2階線形常微分方程式(非同次方程式)の特殊解の求め方として、以下の3つがある。<br> | |||
(1) 定数変化法（variation of constants）<br> | |||
(2) 未定係数法（method of undetermined coefficients）<br> | |||
(3) 記号法（symbolic method）<br> | |||
<br><br> | |||
== 定数変化法 == | |||
以下の定理の証明を与える方法を定数変化法という。<br> | |||
<br> | |||
定理 : | |||
定数係数2階線形常微分微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math> の基本解を(y1, y2)とする時、 | |||
以下のv(x)は、定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の特殊解である。 | |||
ここで、<math>W [y_1, \, y_2]</math> は、ロンスキー行列式であり、<math>\int</math> は原始関数を表す。 | |||
<math>v(x) = - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx</math> | |||
<br> | |||
定数変化法では、g(x)が考察中の区間Iで連続であれば、どんな関数に対しても特殊解v(x)を求めることができる。<br> | |||
ただし、g(x)によっては、原始関数をよく知られた関数で表せない場合もある。<br> | |||
<br> | |||
定数変化法の例題1 : | |||
以下の微分方程式の特殊解v(x)を定数変化法で求め、一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> | |||
<br> | |||
同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0</math> の基本解は、<math>(e^{-2x}, \, e^{-x})</math>、<br> | |||
<br> | |||
一般解は、<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad \cdots \quad (C_1,\, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br> | |||
<br> | |||
<math>y_1 = e^{-2x}, \, y_2 = e^{-x}, \, g(x) = x</math> とおいて、定数変化法の公式を用いて特殊解v(x)を求める。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
W [ y_1, \, y_2 ] &= | |||
\begin{vmatrix} | |||
e^{-2x} & e^{-x} \\ | |||
-2 e^{-2x} & -e^{-x} | |||
\end{vmatrix} \\ | |||
&= -e^{-3x} + 2e^{-3x} \\ | |||
&= e^{-3x} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
v(x) &= - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \int{\frac{e^{-x} \, x}{e^{-3x}}} dx + e^{-x} \int{\frac{e^{-2x} \, x}{e^{-3x}}} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \int{x e^{2x}} dx + e^{-x} \int{x e^x} dx \\ | |||
&= -e^{-2x} \left ( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int{e^{2x}} \right ) dx + e^{-x} \left ( x e^x - \int{e^x} \right ) dx \\ | |||
&= - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + x - 1 \\ | |||
&= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\ | |||
&= \frac{2x - 3}{4} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、与式の一般解は次式となる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | |||
<br><br> | |||
== 未定係数法 == | |||
==== 未定係数法とは ==== | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br> | |||
g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br> | |||
<br> | |||
この場合、v(x)の形は、以下の定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の特性方程式の解とg(x)の形で決まる。<br> | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math><br> | |||
<br> | |||
このように、g(x)が特定の形の場合に有効な方法が未定係数法である。<br> | |||
<br> | |||
ただし、未定係数法は万能な方法ではなく、<br> | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式)において、g(x)が以下のような形の場合に有効な方法である。<br> | |||
(1) xの多項式の形。<br> | |||
(2) e<sup>ax</sup>の形。<br> | |||
(3) <math>\sin{\alpha x}</math> の形。<br> | |||
(4) <math>\cos{\beta x}</math> の形。<br> | |||
(5) 上記（1)〜(4)の組み合わせでできている形。<br> | |||
<br> | |||
以下、上記の場合を考慮して、g(x)の形、特性方程式の解、および特殊解v(x)の形の間の関係を記述する。<br> | |||
<br> | |||
==== 特殊解の形 ==== | |||
多項式 <math>p_n, \, P_n, \, Q_n</math> を定める。<br> | |||
<br> | |||
<math> | |||
\begin{cases} | |||
p_n(x) &= k_n x^n + k_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + k_1 x + k_0 \\ | |||
P_n(x) &= A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + A_1 x + A_0 \\ | |||
Q_n(x) &= B_n x^n + B_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + B_1 x + B_0 \\ | |||
\end{cases} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
（ <math>n = 0</math> の時は、<math>p_n(x), \, P_n(x), \, Q_n(x)</math> は定数となる）<br> | |||
<br> | |||
このとき、定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式): <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> におけるg(x)の形に応じて、<br> | |||
4通りに分類して、特殊解v(x)の形を見る。<br> | |||
<br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x)</math> の場合の特殊解v(x) | |||
** <math>\lambda \ne 0</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = P_n(x)</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x P_n(x)</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x^2 P_n(x)</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x}</math> の場合の特殊解v(x) | |||
** <math>\lambda \ne \alpha</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x^2 P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) \sin{\beta x}</math> または <math>p_n(x) \cos{\beta x}</math> の場合 | |||
** <math>\lambda \ne i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x}</math> | |||
** <math>\lambda = i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x \{ Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \sin{\beta x}</math> または <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \cos{\beta x}</math> の場合 | |||
** <math>\lambda \ne \alpha \pm i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
<br> | |||
==== 未定係数法の例題 ==== | |||
例題1 : | |||
以下の微分方程式の特殊解v(x)を未定係数法で求め、一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> | |||
※ <math>g(x) = p_n(x) = k_1 x + k_0 = x</math> の形なので、<math>v(x) = P_n(x) = A_1 x + A0</math> の形になる。 | |||
<br> | |||
上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0</math> より、<math>\lambda = -2, \, -1</math><br> | |||
したがって、上式の基本解は <math>( e^{-2x}, \, e^{-x} )</math> となり、一般解は <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math><br> | |||
<br> | |||
次に、非同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の特殊解v(x)を求める。<br> | |||
<br> | |||
v(x)の形は、<u>g(x)がp<sub>n</sub>(x)の場合の特殊解v(x)はP<sub>n</sub>(x)になる</u>ことを考慮すると、<br> | |||
<math>v(x) = A_1 x + A_0 \quad (n = 1 \mbox{ の ケ ー ス } )</math> の形になることがわかる。<br> | |||
<br> | |||
以下、このA<sub>1</sub>、および、A<sub>0</sub>を求める。<br> | |||
<br> | |||
<math>v(x) = A_1 x + A_0, \quad \frac{dv(x)}{dx} = A_1, \quad \frac{d^2 v(x)}{dx} = 0</math><br> | |||
<br> | |||
これらを与式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の左辺へ代入すると、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{d^2 v(x)}{dx^2} + 3 \frac{d v(x)}{dx} + 2v(x) &= 0 + 3 A_1 + 2(A_1 x + A_0) \\ | |||
&= (2 A_1)x + (3 A_1 + 2 A_0) \\ | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
これが右辺の多項式xに等しくなるためには、<math>2 A_1 = 1, \quad 3 A_1 + 2 A_0 = 0</math> となる必要がある。<br> | |||
よって、<math>A_0 = - \frac{3}{4}, \quad A_1 = \frac{1}{2}</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、特殊解は以下になる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
v(x) &= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\ | |||
&= \frac{2x - 3}{4} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
以上より、与式の一般解は以下になる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||