「応用数学 - 1階常微分方程式」の版間の差分

2024年1月26日 (金) 02:28時点における最新版

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

変数分離形微分方程式
同次形微分方程式
1階線形微分方程式
ベルヌーイ形微分方程式
完全微分方程式

$\frac{d y}{d x}$ の扱い

以下の命題は、 $\frac{d y}{d x}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
 $\int (g (y) \frac{d y}{d x}) d x = \int g (y) d y$ 

証明.
 $y = ϕ (x)$  とおいて、両辺をxで微分すると、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d ϕ}{d x}$ 
置換積分の公式より、 $\int g (y) d y = \int g (ϕ (x)) \frac{d ϕ}{d x} d x$ 
 $y = ϕ (x)$  より、
 $\int g (ϕ (x)) \frac{d ϕ}{d x} d x = \int (g (y) \frac{d y}{d x}) d x$

命題2.
 $g (y) d y = f (x) d x \Rightarrow \int g (y) d y = \int f (x) d x$ 

証明.
 $g (y) d y = f (x) d x$  の両辺をdxで除算して、本来の記号  $\frac{d y}{d x}$  に戻すと次式となる。
 $g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$ 

両辺をxで積分すると次式となる。
 $\int g (y) (\frac{d y}{d x}) d x = \int f (x) d x$ 

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
 $\int g (y) d y = \int f (x) d x$

命題3.
 $f (x) d x + g (y) d y = 0 \Rightarrow \int f (x) d x + \int g (y) d y = C ( C : 任 意 の 定 数 )$ 

証明.
 $f (x) d x + g (y) d y = 0$  の両辺をdxで除算して、本来の記号 $\frac{d y}{d x}$  に戻すと次式となる。
 $f (x) + g (y) (\frac{d y}{d x}) = 0$ 

この両辺をxで積分すると次式となる。
 $\begin{aligned} \int f (x) + g (y) (\frac{d y}{d x}) d x & = 0 \\ \int f (x) d x + \int g (y) (\frac{d y}{d x}) d x & = C \end{aligned}$ 

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
 $\int f (x) d x + \int g (y) d y = C ( C : 任 意 の 定 数 )$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g (y) \frac{d y}{d x} = f (x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

$g (y) d y = f (x) d x$
$f (x) d x - g (y) d y = 0$
$\frac{d y}{d x} = f (x) h (y) ∵ h (y) = \frac{1}{g (y)}$

変数分離形の例
$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y + \frac{1}{y})$
変数分離形ではない例
$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 y$

$\frac{d y}{d x} = x - y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} = x$ 

解答.
 $\begin{aligned} d y & = x d x \\ \int d y & = \int x d x \\ y & = \frac{1}{2} x^{2} + C ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{aligned}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} = y$ 

解答.
 $\begin{aligned} \frac{1}{y} d y & = d x \\ \int \frac{1}{y} d y & = \int d x \\ \ln | y | & = x + C ( C : 任 意 の 定 数 ) \\ | y | & = e^{x + C} \\ y & = \pm e^{C} e^{x} \\ y & = C e^{x} ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{aligned}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
 $y d y = x d x$ 

解答.
 $\begin{aligned} \int y d y & = \int x d x \\ \frac{1}{2} y^{2} & = \frac{1}{2} x^{2} + C ( C : 任 意 の 定 数 ) \\ y^{2} & = x^{2} + 2 C \\ y^{2} & = x^{2} + C ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{aligned}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
 $x d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ 

解答.
 $d y = \frac{x}{1 + x^{2}}$  とおく。
 $\begin{aligned} \int d y & = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x \\ y & = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} \\ y & = \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{aligned}$

同次形微分方程式

同次形微分方程式とは

$\frac{d y}{d x}$ が $\frac{y}{x}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
$\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

 $u = \frac{y}{x}$  とおけば、 $y = u x$  より、積の微分公式を使用して、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d u}{d x} x + u$  となる。
これを、 $\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$  に代入すると、 $u + \frac{d u}{d x} x = f (u)$  となる。
したがって、 $\frac{d u}{d x} = \frac{f (u) - u}{x}$ 

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1$
$\frac{d y}{d x} = 2 {(\frac{y}{x})}^{3} + \frac{y}{x}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

同次形微分方程式の例題

例題1.
微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1$ 

解答.
 $\frac{y}{x} = u$  とおくと、 $y = u x$ 
積の微分公式より、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d u}{d x} x + u$ 

これを微分方程式に代入すると、 $u + \frac{d u}{d x} x = u + 1$  となり、各項を計算すると、 $\frac{d u}{d x} x = 1$  となる。
したがって、 $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}$  であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
 $\begin{aligned} \int \frac{d u}{d x} d x & = \int \frac{1}{x} d x \\ \int d u & = \int \frac{1}{x} d x \\ u & = \ln | x | + C \end{aligned}$ 

 $u = \frac{y}{x}$  であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
 $\frac{y}{x} = \ln | x | + C$ 

したがって、一般解は、
 $y = x (\ln (| x |) + C) ( C : 任 意 定 数 )$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x - y}$ 

解答.
 $\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x - y}$  は、次のように記述できるため、同次形微分方程式である。
 $\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} \dots (1)$ 

ここで、 $u = \frac{y}{x} \dots (2)$  すなわち  $y = x u$  とおくと、
 $\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x} \dots (3)$ 

上式(2)(3)を上式(1)へ代入すると、
 $u + x \frac{d u}{d x} = \frac{1 + u}{1 - u}$ 

したがって、 $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \frac{1 + u^{2}}{1 - u} \dots (4)$ 
これは変数分離形である。

上式84)を変数分離して積分すると、次式となる。
 $\int \frac{1 - u}{1 + u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$ 
 $\int {\frac{1}{1 + u^{2}} - \frac{1}{2} \frac{2 u}{1 + u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$ 
したがって、 $\tan^{- 1} (u) - \frac{1}{2} \ln (1 + u^{2}) = \ln x + C$ 

ここで、 $u = \frac{y}{x}$  を代入してx, yの式に戻す。
 $\tan^{- 1} (\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln (1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) = \ln x + C$ 

ここで、 $\frac{1}{2} \ln (1 + \frac{y^{2}}{x^{2}})$  は、対数の法則により、
 $\frac{1}{2} \ln (1 + \frac{y^{2}}{x^{2}})$ 
 $= \frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}})$ 
 $= \frac{1}{2} {\ln (x^{2} + y^{2}) - \ln x^{2}}$ 
 $= \frac{1}{2} {\ln (x^{2} + y^{2}) - 2 \ln x}$ 
 $= \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) - \ln x$ 

ゆえに、一般解は次式となる。
 $\begin{array}{lcl} \tan^{- 1} (\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) + \ln x & = & \ln x + C \\ ⟹ \tan^{- 1} (\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) & = & C ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{array}$

1階線形微分方程式

1階線形微分方程式とは

$f (x), g (x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。

 $\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x) \dots (1)$

上式(1)の中で、 $g (x) = 0$ の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。

 $\frac{d y}{d x} + f (x) y = 0 \dots (2)$

上式(1)の中で、 $g (x) \neq 0$ の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。

同次方程式は、変数分離形の方程式となる。

理由.
 $\frac{d y}{d x} + f (x) y = 0 ( 同 次 方 程 式 )$  を記述し直すと、
 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - f (x) (y \neq 0)$  となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。

• まとめ:

同次方程式(変数分離形)
$\frac{d y}{d x} + f (x) y = 0$
非同次方程式
$\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x) (g (x) \neq 0)$

1階線形微分方程式の例

$\frac{d y}{d x} + y = x$
$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{2}$
$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin x$

1階線形微分方程式ではない例

$y^{n} (n \geq 2)$ の項があるものは、非線形である。

例.

\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x y^{4}

(ベルヌーイ形の微分方程式)

1階線形微分方程式の一般解

定理
1階線形微分方程式  $\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x)$  の一般解は、以下の公式で表される。
 $y = \frac{1}{h (x)} {\int g (x) h (x) d x + C} ( C : 任 意 の 定 数 )$ 

ここで、 $h (x) = e^{\int f (x) d x}$ 
 $\int f (x) d x$  は  $f (x)$  の原始関数の1つ

上式にある  $h (x)$  を積分因子(integrating factor)という。

1階線形微分方程式の一般解の証明

1階線形微分方程式 $\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x) \dots (1)$ の両辺に $h (x) = e^{\int f (x) d x} \dots (2)$ を乗算すると、次式が得られる。
$\begin{aligned} (\frac{d y}{d x} + f (x) y) h (x) & = g (x) h (x) \\ \frac{d y}{d x} h (x) + y (f (x) h (x)) & = g (x) h (x) \dots (3) \end{aligned}$

ここで、 $f (x) h (x) = \frac{d h (x)}{d x}$ である。
なぜなら、上式(2)において、 $u = \int f (x) d x$ とおくと、 $h (x) = e^{u}$ であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。
$\begin{aligned} \frac{d h (x)}{d x} & = \frac{d e^{u}}{d x} \frac{d u}{d x} \\ = e^{u} \frac{d}{d x} {\int f (x) d x} \\ = f (x) e^{u} \\ = f (x) h (x) \end{aligned}$

したがって、 $f (x) h (x) = \frac{d h (x)}{d x}$ を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、 $\frac{d y}{d x} h (x) + y \frac{d h (x)}{d x} = g (x) h (x)$
さらに、積の微分公式より、 $\frac{d}{d x} (y h (x)) = g (x) h (x) \dots (4)$ となる。

上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。
$y h (x) = \int g (x) h (x) d x + C$

したがって、一般解は次式で表される。
$y = \frac{1}{h (x)} {\int g (x) h (x) d x + C} ( C : 任意の定数 )$
QED.

1階線形微分方程式の例題

例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
 $x \frac{d y}{d x} + y = 2 x$ 

解答.
両辺をxで割ると、 $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 2$  より、
 $f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = 2$  となる。

積分因子  $h (x)$  を求める。
 $h (x) = e^{\int f (x) d x} = e^{\int \frac{1}{x} d x} = e^{\ln (| x |)} = | x | \dots (2)$ 

上記の式を  $y = \frac{1}{h (x)} {\int g (x) h (x) d x + C}$  に代入すると、
 $y = \frac{1}{| x |} {\int 2 | x | d x + C}$ 

ここで、 $| x | = \pm x$  より、
 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{\pm x} {\int 2 (\pm) x d x + C} \\ = \frac{1}{x} {\int 2 x d x + C} \\ = \frac{1}{x} (x^{2} + C) \\ = x + \frac{C}{x} \end{aligned}$ 

ゆえに、一般解は次式となる。
 $y = x + \frac{C}{x} ( C : 任 意 の 定 数 )$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{2}$ 

解答.
 $f (x) = 3 x^{2}, g (x) = 5 x^{2}$  として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。

この時、 $z = 3 x^{2}, w = x^{3}$  と変数変換する。
 $\begin{aligned} y & = e^{- \int z d x} {\int 5 x^{2} e^{\int z d x} d x + C} \\ = e^{- w} {\int 5 x^{2} e^{w} d x + C} \end{aligned}$ 

 $\frac{5}{3} e^{w}$  をxで微分すると、合成関数の微分公式より、
 $\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\frac{5}{3} e^{w}) & = \frac{d}{d w} (\frac{5}{3} e^{w}) \frac{d w}{d x} \\ = \frac{5}{3} e^{w} \frac{d}{d x} x^{3} \\ = \frac{5}{3} e^{w} 3 x^{2} \\ = 5 x^{2} e^{w} \dots (1) \end{aligned}$ 

(1)式の両辺を積分すると、 $\int \frac{d}{d x} (\frac{5}{3} e^{w}) d x = \int 5 x^{2} e^{w} d x ⟹ \frac{5}{3} e^{w} = \int 5 x^{2} e^{w} d x$  となる。

よって、  $\int 5 x^{2} e^{w} d x = \frac{5}{3} e^{w}$  が成立する。
したがって、 $y = e^{- w} {\frac{5}{3} e^{w} + C} = C e^{- w} + \frac{5}{3}$ 

一般解は次式となる。
 $y = C e^{- x^{3}} + \frac{5}{3} ( C : 任 意 の 定 数 ) ∵ w = x^{3}$

例題3.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 \ln x$ 

解答.
 $\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 \ln x$  は、1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
 $\begin{aligned} y & = e^{- \int - \frac{1}{x} d x} {\int 2 e^{\int - \frac{1}{x} d x} \ln x + C} \\ = e^{\ln x} {\int 2 e^{\ln x} \frac{1}{x} d x + C} \\ = x {\int 2 \ln x \frac{1}{x} d x + C} ∵ e^{\ln x} = x \end{aligned}$ 

合成関数の微分公式より、以下の式が成立する。
 $\frac{d}{d x} (\ln x)^{2} = 2 \ln x \frac{d}{d x} \ln x = 2 \ln x \frac{1}{x}$ 

したがって、一般解は以下となる。
 $y = x (\ln x)^{2} + C ( C : 任 意 の 定 数 )$

ベルヌーイ形微分方程式

ベルヌーイ形微分方程式とは

$f (x), g (x)$ をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、ベルヌーイ(Bernoulli)形微分方程式という。

 $\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x) y k (k \neq 0, 1) \dots (1)$

ベルヌーイ形方程式は、 $u = y^{1 - k}$ とおくことにより、1階線形微分方程式に記述することができる。
上式(1)において、 $k = 0, k = 1$ の場合は、それぞれ、変数分離形微分方程式、1階線形微分方程式になる。(そのため、kの条件 $k \neq 0, 1$ で排除している)

ベルヌーイ形微分方程式の例.
ある値域(人口N人)のファッションの伝搬速度は、ファッションに参加している人数yと未参加者N - yの両方に比例すると考えられる。
 $\frac{d y}{d x} = k y (N - y)$  (ロジスティック方程式)

この方程式を書き直すと以下のベルヌーイ形になる。
 $\frac{d y}{d x} - k N y = - k y^{2}$  (ベルヌーイ形)

ベルヌーイ形微分方程式の1階線形微分方程式への変換

$\frac{d y}{d x} + f (x) y = g (x) y^{k} (k \neq 0, 1) \dots (1)$ において、 $y \neq 0$ の場合を考える。( $y = 0$ は、式(1)の解の1つである)

右辺からyを消すため、両辺を $y^{k}$ で除算すると、
$y - k \frac{d y}{d x} + f (x) y^{1 - k} = g (x) \dots (2)$

ここで、 $\frac{d}{d x} (y^{1 - k}) = (1 - k) y^{- k} \frac{d y}{d x}$ という事実に着目して、上式(2)の両辺に $1 - k$ を乗算すると、
$(1 - k) y^{- k} \frac{d y}{d x} + (1 - k) f (x) y^{1 - k} = (1 - k) g (x)$

ここで、 $u = y^{1 - k}, \frac{d u}{d x} = (1 - k) y^{- k} \frac{d y}{d x}$ とおき、未知関数をyからuへ変換する。
この時、未知関数uの1階線形微分方程式となる。
$\frac{d u}{d x} + (1 - k) f (x) u = (1 - k) g (x)$

ベルヌーイ形微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x y^{4}$ 

解答.
 $\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x y^{4}$  の両辺を  $y^{4}$  で除算して、 $1 - 4 = - 3$  を乗算する。
 $- 3 y - 4 \frac{d y}{d x} - 6 x y^{- 3} = - 6 x$ 

ここで、 $u = y^{- 3}$  とおくと、 $\frac{d u}{d x} = - 3 y^{- 4} \frac{d y}{d x}$  となるため、
 $\frac{d u}{d x} - 6 x u = - 6 x$  となり、未知関数uに関する1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の公式を使用する。
積分因子 :  $h (x) = e^{- \int 6 x d x}$ 
 $\begin{aligned} u & = e^{\int 6 x d x} {\int - 6 x e^{- \int 6 x d x} d x + C} \\ = e^{3 x^{2}} {\int - 6 x e^{- 3 x^{2}} d x + C} \\ = e^{z} {\int - 6 x e^{- z} d x + C} (∵ z = 3 x^{2}) \\ = e^{z} (e^{- z} + C) \\ = 1 + C e^{z} \end{aligned}$ 

ゆえに、 $y^{3} = \frac{1}{1 + C e^{3 x^{2}}} ( C : 任 意 の 定 数 )$ 
 $y = 0$  となる解は、 $C = + \infty$  の場合に対応する。

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} + y \sin x = y^{2} \sin x$ 

解答.
これはベルヌーイ形微分方程式である。

与式の両辺に、 $- y^{- 2}$  を乗算すると、
 $- y^{- 2} \frac{d y}{d x} - y^{- 1} \sin x = - \sin x \dots (1)$ 

この時、 $u = y^{- 1}$  とおくと、 $\frac{d u}{d x} = - y^{- 2} \frac{d y}{d x} \dots (2)$  である。
上式(2)を上式(1)へ代入する。
 $\frac{d u}{d x} - u \sin x = - \sin x$ 

これは、1階線形微分方程式となるので、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
 $\begin{aligned} u & = e^{\int \sin x d x} {- \int \sin x e^{- \int \sin x d x} d x + C} \\ = e^{- \cos x} {- \int \sin x e^{\cos x} d x + C} \\ = e^{- \cos x} (e^{\cos x} + C) \\ = 1 + C e^{- \cos x} \end{aligned}$ 

 $u = y^{- 1}$  であるため、一般解は以下となる。
 $\begin{aligned} y & = u^{- 1} \\ = \frac{1}{1 + C e^{- \cos x}} ( C : 任 意 の 定 数 ) \end{aligned}$

例題3.
次下の微分方程式の一般解を求めよ。
 $\frac{d y}{d x} + 2 x^{- 1} y = - 7 x^{2} y^{\frac{4}{3}}$ 

解答.
与式は、ベルヌーイ形微分方程式である。
両辺に、 $- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}}$  を乗算すると、
 $- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{3 x} y^{- \frac{1}{3}} = \frac{7}{3} x^{2}$ 

 $u = y^{- \frac{1}{3}}$  とおく時、 $\frac{d u}{d x} - \frac{2}{3 x} u = \frac{7}{3} x^{2}$ 
これは1階線形微分方程式であるため、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用すると、
 $\begin{aligned} u & = e^{\int \frac{2}{3 x} d x} {\int \frac{7}{3} x^{2} e^{- \int \frac{2}{3 x} d x} d x + C} \\ = x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{7}{3}} + C) ∵ e^{\frac{2}{3} \ln x} = = x^{\frac{2}{3}} \\ = x^{3} + C x^{\frac{2}{3}} \end{aligned}$ 

したがって、一般解は以下となる。
 $y^{- \frac{1}{3}} = x^{3} + C x^{\frac{2}{3}} ( C : 任 意 の 定 数 )$

完全微分方程式

完全微分方程式とは

x, yを変数とする以下の微分方程式を考える。

 $f (x, y) d x + g (x, y) d y = 0 \dots (1)$

この時、上式(1)の左辺が、ある関数 $P (x, y)$ の微分 $d P = \frac{\partial P}{\partial x} d x + \frac{\partial P}{\partial y} d y$ になる時、
上式(1)を完全微分方程式という。

完全微分方程式は、 $d P = 0$ と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。
$P (x, y) = C ( C : 任意の定数 )$

完全微分方程式の定理と判定

$f (x, y) d x + g (x, y) d y = 0$ が完全微分方程式である。

 $f (x, y) d x + g (x, y) d y = 0 ⟺ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}$

完全微分方程式の一般解の公式(定理)

完全微分方程式  $f (x, y) d x + g (x, y) d y = 0$  の一般解は、次式で表される。
 $\int f (x, y) d x + \int (g (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int f (x, y) d x) d y = C$

完全微分方程式の例

$3 x^{2} y^{4} d x + 4 x^{3} y^{3} d y = 0$

理由
$P (x, y) = x^{3} y^{4}$ の時、 $P_{x} (x, y) = 3 x^{2} y^{4} = f (x, y), P_{y} (x, y) = 4 x^{3} y^{3} = g (x, y)$ である。
さらに、以下の判定条件により、 $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}$ が成立するため、完全微分方程式である。

判定条件
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2} y^{4}) = 12 x^{2} y^{3}$

$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} y^{3}) = 12 x^{2} y^{3}$

完全微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式が完全微分方程式であることを確かめよ。
また、この微分方程式の一般解を求めよ。
 $(2 x + y^{2}) d x + (2 x y + 3 y^{2}) d y = 0$ 

解答.
 $f (x, y) = 2 x + y^{2}, g (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$  とおく時、 $\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y, \frac{\partial g}{\partial x} = 2 y$  であり、
 $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}$  が成立する。
判定条件が成立したので、完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式より、以下が成立する。
 $\int (2 x + y^{2}) d x + \int {2 x y + 3 y^{2} - \frac{\partial}{\partial y} \int (2 x + y^{2}) d x} d y$ 
 $= x^{2} + x y^{2} + \int {2 x y + 3 y^{2} - \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + x y^{2})} d y$ 
 $= x^{2} + x y^{2} + \int 3 y^{2} d y$ 
 $= x^{2} + x y^{2} + y^{3}$ 

ゆえに、一般解は次式となる。
 $x^{2} + x y^{2} + y^{3} = C ( C : 任 意 の 定 数 )$

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
 $(2 x + e^{y}) d x + (1 + x e^{y}) d y = 0$ 

解答.
まず、 $(2 x + e^{y}) d x + (1 + x e^{y}) d y = 0$  が完全微分方程式であることを確認する。
 $\frac{\partial}{\partial y} (2 x + e^{y}) = e^{y}, \frac{\partial}{\partial x} (1 + x e^{y}) = e y$ 
となるため、与式は完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式を適用する。
 $\int (2 x + e^{y}) d x + \int {1 + x e^{y} - \frac{\partial}{\partial y} \int (2 x + e^{y}) d x} d y$ 
 $\int (2 x + e^{y}) d x + \int {1 + x e^{y} - \int e^{y} d x} d y$ 
 $= x^{2} + x e^{y} + \int (1 + x e^{y} - x e^{y}) d y$ 
 $= x^{2} + x e^{y} + \int d y$ 
 $= x^{2} + x e^{y} + y + C$ 

したがって、一般解は以下となる。
 $x^{2} + x e^{y} + y = C ( C : 任 意 の 定 数 )$

@@ 129行目: / 129行目: @@
 == 同次形微分方程式 ==
+==== 同次形微分方程式とは ====
 <math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br>
 <math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br>
@@ 147行目: / 148行目: @@
 * <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。
 <br>
-  例題.
+==== 同次形微分方程式の例題 ====
+  例題1.
   微分方程式の一般解を求めよ。
   <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
@@ 172行目: / 174行目: @@
   したがって、一般解は、
   <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math>
+<br>
+ 例題2.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}</math>
+ 解答.
+ <math>\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}</math> は、次のように記述できるため、同次形微分方程式である。
+ <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} \cdots (1)</math>
+ ここで、<math>u = \frac{y}{x} \cdots (2)</math> すなわち <math>y = xu</math> とおくと、
+ <math>\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \cdots (3)</math>
+ 上式(2)(3)を上式(1)へ代入すると、
+ <math>u + x \frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 - u}</math>
+ したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \frac{1 + u^2}{1 - u} \cdots (4)</math>
+ これは変数分離形である。
+ 上式84)を変数分離して積分すると、次式となる。
+ <math>\int{\frac{1 - u}{1 + u^2} du} = \int{\frac{1}{x}} dx</math>
+ <math>\int{ \left \{ \frac{1}{1 + u^2} - \frac{1}{2} \frac{2u}{1 + u^2} \right \} du} = \int{\frac{1}{x} dx}</math>
+ したがって、<math>\tan^{-1}(u) - \frac{1}{2} \ln{(1 + u^2)} = \ln{x} + C</math>
+ ここで、<math>u = \frac{y}{x}</math> を代入してx, yの式に戻す。
+ <math>\tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{\left (1 + \frac{y^2}{x^2} \right) } = \ln{x} + C</math>
+ ここで、<math>\frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }</math> は、対数の法則により、
+ <math>\frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }</math>
+ <math>= \frac{1}{2} \ln{ \left ( \frac{x^2 + y^2}{x^2} \right ) }</math>
+ <math>= \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x^2} \right \}</math>
+ <math>= \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - 2 \ln{x} \right \}</math>
+ <math>= \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x}</math>
+ ゆえに、一般解は次式となる。
+ <math>
+ \begin{array}{lcl}
+ \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} + \ln{x} &=& \ln{x} + C \\
+ \implies \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) &=& C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
+ \end{array}
+ </math>
 <br><br>
@@ 271行目: / 313行目: @@
   ゆえに、一般解は次式となる。
   <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
+<br>
+ 例題2.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>\frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 5x^2</math>
+ 解答.
+ <math>f(x) = 3x^2, \quad g(x) = 5x^2</math> として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。
+ この時、<math>z = 3x^2, \quad w = x^3</math> と変数変換する。
+ <math>
+ \begin{align}
+ y &= e^{- \int{z dx}} \left \{ \int{5x^2 e^{\int{z dx}} dx + C } \right \} \\
+ &= e^{-w} \left \{ \int{5x^2 e^w dx} + C \right \}
+ \end{align}
+ </math>
+ <math>\frac{5}{3} e^w</math> をxで微分すると、合成関数の微分公式より、
+ <math>
+ \begin{align}
+ \frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) &= \frac{d}{dw} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \frac{dw}{dx} \\
+ &= \frac{5}{3} e^w \frac{d}{dx} x^3 \\
+ &= \frac{5}{3} e^w 3x^2 \\
+ &= 5x^2 e^w \qquad \cdots \, \, (1)
+ \end{align}
+ </math>
+ (1)式の両辺を積分すると、<math>\int{\frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \, dx} = \int{5x^2 e^w \, dx} \quad \implies \quad \frac{5}{3} e^w = \int{5x^2 e^w \, dx}</math> となる。
+ よって、 <math>\int{5x^2 e^w dx} = \frac{5}{3} e^w</math> が成立する。
+ したがって、<math>y = e^{-w} \left \{ \frac{5}{3} e^w + C \right \} = Ce^{-w} + \frac{5}{3}</math>
+ 一般解は次式となる。
+ <math>y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3</math>
+<br>
+ 例題3.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}</math>
+ 解答.
+ <math>\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}</math> は、1階線形微分方程式である。
+階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
+ <math>
+ \begin{align}
+ y &= e^{- \int{- \frac{1}{x} dx}} \left \{ \int{2 e^{\int{- \frac{1}{x} dx}}} \, \ln{x} + C\right \} \\
+ &= e^{\ln{x}} \left \{ \int{2 e^{\ln{x}} \frac{1}{x} dx} + C \right \} \\
+ &= x \left \{ \int{2 \ln{x} \frac{1}{x} dx} + C \right \}  \qquad \because e^{\ln{x}} = x \\
+ \end{align}
+ </math>
+ 合成関数の微分公式より、以下の式が成立する。
+ <math>\frac{d}{dx} (\ln{x})^2 = 2 \ln{x} \frac{d}{dx} \ln{x} = 2 \ln{x} \frac{1}{x}</math>
+ したがって、一般解は以下となる。
+ <math>y = x {(\ln{x})^2 + C} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <br><br>
@@ 327行目: / 424行目: @@
   ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
   <math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。
+<br>
+ 例題2.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>\frac{dy}{dx} + y \sin{x} = y^2 \sin{x}</math>
+ 解答.
+ これはベルヌーイ形微分方程式である。
+ 与式の両辺に、<math>-y^{-2}</math> を乗算すると、
+ <math>-y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \sin{x} = - \sin{x} \qquad \cdots (1)</math>
+ この時、<math>u = y^{-1}</math> とおくと、<math>\frac{du}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx} \qquad \cdots (2)</math> である。
+ 上式(2)を上式(1)へ代入する。
+ <math>\frac{du}{dx} - u \sin{x} = - \sin{x}</math>
+ これは、1階線形微分方程式となるので、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
+ <math>
+ \begin{align}
+ u &= e^{\int{\sin{x} dx}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{- \int{\sin{x} dx}} dx} + C \right \} \\
+ &= e^{- \cos{x}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{\cos{x}} dx} + C \right \} \\
+ &= e^{- \cos{x}} (e^{\cos{x}} + C) \\
+ &= 1 + C e^{- \cos{x}}
+ \end{align}
+ </math>
+ <math>u = y^{-1}</math> であるため、一般解は以下となる。
+ <math>
+ \begin{align}
+ y &= u^{-1} \\
+ &= \frac{1}{1 + C e^{- \cos{x}}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) }
+ \end{align}
+ </math>
+<br>
+ 例題3.
+ 次下の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>\frac{dy}{dx} + 2x^{-1} y  = -7x^2 y^{\frac{4}{3}}</math>
+ 解答.
+ 与式は、ベルヌーイ形微分方程式である。
+ 両辺に、<math>- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}}</math> を乗算すると、
+ <math>- \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{3x} y^{- \frac{1}{3}} = \frac{7}{3} x^2</math>
+ <math>u = y^{- \frac{1}{3}}</math> とおく時、<math>\frac{du}{dx} - \frac{2}{3x} u = \frac{7}{3} x^2</math>
+ これは1階線形微分方程式であるため、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用すると、
+ <math>
+ \begin{align}
+ u &= e^{\int{\frac{2}{3x} dx}} \left \{ \int{\frac{7}{3} x^2 e^{- \int{\frac{2}{3x}dx}} dx} + C \right \} \\
+ &= x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{7}{3}} + C) \qquad \because e^{\frac{2}{3} \ln{x}} =  = x^{\frac{2}{3}} \\
+ &= x^3 + C x^{\frac{2}{3}}
+ \end{align}
+ </math>
+ したがって、一般解は以下となる。
+ <math>y^{- \frac{1}{3}} = x^3 + C x^{\frac{2}{3}} \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }</math>
 <br><br>
@@ 339行目: / 490行目: @@
 完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br>
 <math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
+<br>
+==== 完全微分方程式の定理と判定 ====
+<math>f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0</math> が完全微分方程式である。<br>
+ <math>f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0 \iff \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math>
+<br>
+ 完全微分方程式の一般解の公式(定理)
+ 完全微分方程式 <math>f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0</math> の一般解は、次式で表される。
+ <math>\int{f(x, y) dx} + \int{ \left ( g(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int{f(x, y) dx} \right ) } dy = C</math>
+<br>
+完全微分方程式の例<br>
+* <math>3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy = 0</math>
+<br>
+理由<br>
+<math>P(x, y) = x^3 y^4</math> の時、<math>P_x(x, y) = 3x^2 y^4 = f(x, y), \quad P_y(x, y) = 4x^3 y^3 = g(x, y)</math> である。<br>
+さらに、以下の判定条件により、<math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math> が成立するため、完全微分方程式である。<br>
+* 判定条件
+*: <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^4) = 12x^2 y^3</math>
+*: <math>\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3 y^3) = 12x^2 y^3</math>
+<br>
+==== 完全微分方程式の例題 ====
+ 例題1.
+ 次の微分方程式が完全微分方程式であることを確かめよ。
+ また、この微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>(2x + y^2) dx + (2xy + 3y^2) dy = 0</math>
+ 解答.
+ <math>f(x, y) = 2x + y^2, \quad g(x, y) = 2xy + 3y^2</math> とおく時、<math>\frac{\partial f}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial g}{\partial x} = 2y</math> であり、
+ <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}</math> が成立する。
+ 判定条件が成立したので、完全微分方程式である。
+ 完全微分方程式の一般解の公式より、以下が成立する。
+ <math>\int{(2x + y^2) dx} + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + y^2) dx} \right \} dy}</math>
+ <math>= x^2 + xy^2 + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + xy^2) \right \} dy}</math>
+ <math>= x^2 + xy^2 + \int{3y^2 dy}</math>
+ <math>= x^2 + xy^2 + y^3</math>
+ ゆえに、一般解は次式となる。
+ <math>x^2 + xy^2 + y^3 = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
+<br>
+ 例題2.
+ 次の微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>(2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0</math>
+ 解答.
+ まず、<math>(2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0</math> が完全微分方程式であることを確認する。
+ <math>\frac{\partial}{\partial y} (2x + e^y) = e^y, \quad \frac{\partial}{\partial x} (1 + x e^y) = ey</math>
+ となるため、与式は完全微分方程式である。
+ 完全微分方程式の一般解の公式を適用する。
+ <math>\int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + e^y) dx} \right \} dy}</math>
+ <math>\int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \int{e^y dx} \right \} dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + \int{(1 + x e^y - x e^y) dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + \int{dy}</math>
+ <math>= x^2 + x e^y + y + C</math>
+ したがって、一般解は以下となる。
+ <math>x^2 + x e^y + y = C \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]