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「ベクトル - ベクトル方程式」の版間の差分

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== 直線のベクトル方程式 ==
== 直線のベクトル方程式 ==
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式 ====
==== 定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式 ====
  定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式
  定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式
   
   
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  <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
  <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
<br>
<br>
==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====
==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====
  異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義
  異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義
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上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>
上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>
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==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式 ====
==== 定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式 ====
  定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義
  定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義
   
   
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<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
<br>
<br>
* 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
* 例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円
P(x, y)とする時、<br>
*: 円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、
<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0</math><br>
*: <math>| \overrightarrow{CP} | = | \overrightarrow{CR} |</math>
<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>
*: <math>| \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} | = | \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OC} |</math>
*: <br>
*: <math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OC} = (3 , 2), \, \overrightarrow{OR} = (1, 1)</math> より、
*: <math>| (x - 3, y - 2) | = | (-2, -1) |</math>
*: <math>\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{5}</math>
*: <math>(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5</math>
*: <br>
*: したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5</math> となる。
*: <br>
* 例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
*: 円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、
*: <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \qquad \because \overrightarrow{AP} \bot \overrightarrow{BP}</math>
*: <math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math>
*: <br>
*: <math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)</math> より、
*: <math>(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0</math>
*: <math>x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0</math>
*: <math>(x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13</math>
*: <math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math>
*: <br>
*: したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。
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==== 円の接線のベクトル方程式 ====
下図(1)のように、円の中心点 <math>C(\vec{c})</math>、円周上の接点を <math>P_0(\vec{p_0})</math> とする時、接線上の点 <math>P(\vec{p})</math> の位置ベクトルは、次式となる。<br>
[[ファイル:Vector Equation 11.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
<math>\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{CP_0} = 0</math><br>
<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0</math><br>
<br>
また、下図(2)より、<math>| \overrightarrow{CP} | \cos{\theta} = | \overrightarrow{CP_0} |</math><br>
<br>
両辺に、<math>| \overrightarrow{CP_0} |</math> を乗算すると、<br>
<math>| \overrightarrow{CP} | | \overrightarrow{CP_0} | \cos{\theta} = | \overrightarrow{CP_0} |^2</math><br>
<math>\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{CP_0} = r^2</math><br>
<br>
したがって、<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = r^2 \qquad (1)</math> となる。<br>
<br>
(1)式は、次のようにしても求めることができる。<br>
<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0</math><br>
<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0</math><br>
これを展開する。<br>
<math>
\begin{align}
(\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) &= ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) \\
&= | \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} |^2 \\
&= r^2
\end{align}
</math><br>
<br>
点Pの位置ベクトルを <math>P(\vec{p}) = (x, y)</math>、円の中心Cの位置ベクトル <math>C(\vec{c}) = (a, b)</math>、接点P<sub>0</sub>の位置ベクトル <math>P_0(\vec{p_0}) = (x_0, y_0)</math> とする。<br>
<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) =r^2</math><br>
<math>(x - a, y - b) \cdot (x_0 - a, y_0 - b) = r^2</math><br>
<math>(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2</math><br>
<br>
<br>
<math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)</math> より、<br>
これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。<br>
<math>(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0</math><br>
<math>x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0</math><br>
<math>(x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13</math><br>
<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math><br>
<br>
<br>
したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。<br>
* 例. 円の中心 <math>C(1, 1)</math>、半径 <math>\sqrt{2}</math> の円に、<math>P(2, 2)</math> で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。
*: <math>\overrightarrow{OC} = (1, 1), \, \overrightarrow{OA} = (2, 2), \, \overrightarrow{OP} = (x, y)</math> とする。
*: <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0</math> より、
*: <math>(x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0</math>
*: <math>\therefore y = -x + 4</math>
<br><br>
<br><br>


__FORCETOC__
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[[カテゴリ:解析学]]
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