「多重積分」の版間の差分 - MochiuWiki : SUSE, EC, PCB

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(1) <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy</math>

(2) <math>\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>

(2) <math>\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>

(1)

~~積分領域は右図のようになる。~~

積分領域は下図のようになる。

[[ファイル:Multiple Integrals 1.png|フレームなし|中央]]

被積分関数が変数分離できる形であるが、yの積分がxに依存しているため、まず、yで積分する。

<math>

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\begin{align}

\int_{0}^{1} x(-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx &= \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\

~~&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \left [ \frac{1}{2} e^{x^{2} - 1} \right ]_{0}^{1} \\~~

&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\

&= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx

160行目:

161行目:

(2)

積分領域は下図のようになる。

[[ファイル:Multiple Integrals 2.png|フレームなし|中央]]

まず、yでの積分がxに依存しているため、yで積分する。

<math>

\begin{align}

\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\

\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\

&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \left \{ 8x^{3}-(x + x^{2})^{3} \right \} \, dx \\

&= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx

207行目:

211行目:

(1)

与えられた座標系では、積分領域Dは下図左のようにドーナツ型になる。

[[ファイル:Multiple Integrals 3.png|フレームなし|中央]]

まず、極座標系(r, θ)に座標変換する。

230行目:

235行目:

&= 2 \pi a \left [ - \frac{1}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}}} \right ]_{R_{1}}^{R_{2}} \\

&= 2 \pi a \left ( \frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2} - a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{R_{2}^{2} - a^{2}}} \right )

\end{align}

</math>

(2)

与えられた座標系では、積分領域Dは下図のように半球型になる。

[[ファイル:Multiple Integrals 4.png|フレームなし|中央]]

そのため、極座標系<math>(r, \theta, \phi)</math> に座標変換する。

<math>

\begin{align}

\begin{cases}

x = r \sin \theta \cos \phi \\

y = r \sin \theta \sin \phi \\

z = r \cos \theta

\end{cases} \qquad \left ( 0 \leq r \leq a, \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \, 0 \leq \phi \leq 2 \pi \right )

\end{align}

</math>

また、ヤコビアンは、<math>\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} = r^{2} \sin \theta</math> となる。

したがって、求める多重積分は次式となる。

<math>

\begin{align}

& \iint_{D} 2z^{3} (2x^{2} - y^{2}) \, dxdydz \\

&= \iint_{D'} 2r^{3} \cos^{3} \theta (2r^{2} \sin^{2} \theta \cos^{2} \phi - r^{2} \sin^{2} \theta \sin^{2} \phi) \, \left | \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} \right | dr d \theta d \phi \\

&= 2 \int_{0}^{a} dr \int_{0}^{\pi / 2} d \theta \int_{0}^{2 \pi} r^{7} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \\

&= 2 \left ( \int_{0}^{a} r^7 dr \, \right ) \left ( \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta \, d \theta \right ) \left \{ \int_{0}^{2\pi} (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \right \} \\

&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta (1 - \sin^{2} \theta) \cos \theta \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2 \pi} (3 \cos^{2} \phi - 1) \, d \phi \right \} \\

&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \cos \theta (\sin^{3} \theta - \sin^{5} \theta) \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{3}{2} \cos 2 \phi + \frac{1}{2} \right ) \, d \phi \right \} \\

&= 2 \left [ \frac{r^{8}}{8} \right ]_{0}^{a} \left [ \frac{\sin^{4} \theta}{4} - \frac{\sin^{6} \theta}{6} \right ]_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \left [ \frac{3 \sin 2 \phi}{2} + \phi \right ]_{0}^{2\pi} \\

&= \frac{a^{8}}{8} \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) 2 \pi \\

&= \frac{\pi a^{8}}{48}

\end{align}

</math>

== 2重積分の極座標変換 ==

軸対称や球対称の関数を積分する際に用いられる極座標による積分である。

<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} \qquad D = \{ (x, y) \, | \, 0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty, \, - \infty < x < + \infty, \, - \infty < y < + \infty \}</math>

積分範囲の中に円 <math>0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty</math> が含まれている。

このように、円が含まれている時は極座標変換 <math>x = r \cos(\theta), \, y = r \sin(\theta), \quad (0 \le r, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math> とおく。

（ <math>r</math> は半径のため必ず <math>0</math> 以上、 <math>\theta</math> は最大でも1周分なので <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> または <math>- \pi \le \theta \le \pi</math> の制約がかかる点に注意する）

ここで変数変換をおこなったのでヤコビアンを計算して <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める必要がある。

<math>

\begin{align}

J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\

= & \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| \\

= & r \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\

= & r

\end{align}

</math>

したがって、 <math>dx dy = r \ dr d \theta</math> となる。

積分範囲は <math>0 \le r^2 < \infty, \ \ \ -1 \le r \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le r \sin(\theta) \le 1</math> となり、

<math>r \ge 0</math> のため、 <math>0 \leqq r \leqq \infty, \ \ \ -1 \le \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となる。

<math>\cos(\theta) \ge 0</math> かつ <math>\sin(\theta) \ge 0</math> を満たすような <math>\theta</math> は <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> なので、

変換後の積分範囲 <math>D'</math> は <math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変換でき、2重積分を計算することができる。

<math>

\begin{align}

\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- (r^{2} \cos^{2}(\theta) + r^{2} \cos^{2}(\theta))} \, r dr d \theta} \\

&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta}

\end{align}

</math>

ここで、更に変数変換を行う。

<math>t = r^{2}</math> とおくと、 <math>dt = 2r dr</math> となり、変数 <math>t</math> の積分範囲は、 <math>0 \le t < \infty</math> となる。

<math>

\begin{align}

\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta} &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt d \theta} \\

&= \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt} \\

&= \pi \Big[ - e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\

&= \pi \, (0 + 1) \\

&= \pi

\end{align}

</math>

== 2重積分の極座標変換 (楕円の場合) ==

領域が円ではなく楕円の場合も、極座標変換して2重積分を行うことができる。

<math>\iint_D \, dxdy \qquad D = \left\{ (x, y) \ | \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 \right\}</math>

領域が楕円の場合、分母にある <math>a^{2}</math> , <math>b^{2}</math> を消すために、極座標変換 <math>x = ar \cos(\theta), \ \ \ y = br \sin(\theta) \quad ( r \ge 0, \ \ 0 \le \theta \le 2 \pi )</math> とおく。

ヤコビアンを計算して、 <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める。

<math>

\begin{align}

J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\

= & \left| \begin{array}{ccc} a \cos \theta & - a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta \end{array} \right| \\

= & \ abr \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\

= & \ abr

\end{align}

</math>

よって、 <math>dxdy = abr \ dr d \theta</math> となる。

また、積分範囲は <math>0 \le r^{2} < 1, \, \, -1 \le \cos(\theta) \le 1, \, \, -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となるので、

変換後の積分範囲 <math>D'</math> は、 <math>D' = \left\{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r < \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \, \right\}</math> の形にできる。

<math>

\begin{align}

\iint_D \, dxdy = & \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} abr \, dr d \theta \\

= & ab \int_{0}^{1} {r} \, dr \int_{0}^{2 \pi} \, d \theta \\

= & ab \Big[ \frac{r^{2}}{2} \Big]_{0}^{1} \cdot \Big[ \theta \Big]_{0}^{2 \pi} \\

= & ab \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \\

= & ab \pi

\end{align}

</math>

__FORCETOC__

[[カテゴリ:解析学]]

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   (1) <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{-x^{2} + 1} xe^{-y} \, dxdy</math>
-  (2) <math>\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>
+  (2) <math>\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy</math>
 <br>
 (1)<br>
-積分領域は右図のようになる。
+積分領域は下図のようになる。<br>
+[[ファイル:Multiple Integrals 1.png|フレームなし|中央]]
+<br>
 被積分関数が変数分離できる形であるが、yの積分がxに依存しているため、まず、yで積分する。<br>
 <math>
@@ 139行目: / 141行目: @@
 \begin{align}
 \int_{0}^{1} x(-e^{x^{2} - 1} + 1) \, dx &= \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\
-&= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \left [ \frac{1}{2} e^{x^{2} - 1} \right ]_{0}^{1} \\
 &= \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right ]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx \\
 &= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} xe^{x^{2} - 1} \, dx
@@ 160行目: / 161行目: @@
 <br>
 (2)<br>
+積分領域は下図のようになる。<br>
+[[ファイル:Multiple Integrals 2.png|フレームなし|中央]]
+<br>
 まず、yでの積分がxに依存しているため、yで積分する。<br>
 <math>
 \begin{align}
-\int_{0}^{1} int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\
+\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y)^{2} \, dxdy &= \int_{0}^{1} dx \biggl [ \frac{(x + y)^{3}}{3} \biggr]_{x^{2}}^{x} \\
 &= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \left \{ 8x^{3}-(x + x^{2})^{3} \right \} \, dx \\
 &= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (-x^{6} - 3x^{5} - 3x^{4} + 7x^{3}) \, dx
@@ 207行目: / 211行目: @@
 (1)<br>
 与えられた座標系では、積分領域Dは下図左のようにドーナツ型になる。<br>
+[[ファイル:Multiple Integrals 3.png|フレームなし|中央]]
 <br>
 まず、極座標系(r, θ)に座標変換する。<br>
@@ 230行目: / 235行目: @@
 &= 2 \pi a \left [ - \frac{1}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}}} \right ]_{R_{1}}^{R_{2}} \\
 &= 2 \pi a \left ( \frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2} - a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{R_{2}^{2} - a^{2}}} \right )
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+(2)<br>
+与えられた座標系では、積分領域Dは下図のように半球型になる。<br>
+[[ファイル:Multiple Integrals 4.png|フレームなし|中央]]
+<br>
+そのため、極座標系<math>(r, \theta, \phi)</math> に座標変換する。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+\begin{cases}
+x = r \sin \theta \cos \phi \\
+y = r \sin \theta \sin \phi \\
+z = r \cos \theta
+\end{cases} \qquad \left ( 0 \leq r \leq a, \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \, 0 \leq \phi \leq 2 \pi \right )
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+また、ヤコビアンは、<math>\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} = r^{2} \sin \theta</math> となる。<br>
+<br>
+したがって、求める多重積分は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+& \iint_{D} 2z^{3} (2x^{2} - y^{2}) \, dxdydz \\
+&= \iint_{D'} 2r^{3} \cos^{3} \theta (2r^{2} \sin^{2} \theta \cos^{2} \phi - r^{2} \sin^{2} \theta \sin^{2} \phi) \, \left | \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} \right | dr d \theta d \phi \\
+&= 2 \int_{0}^{a} dr \int_{0}^{\pi / 2} d \theta \int_{0}^{2 \pi} r^{7} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \\
+&= 2 \left ( \int_{0}^{a} r^7 dr \, \right ) \left ( \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta \, d \theta \right ) \left \{ \int_{0}^{2\pi} (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \right \} \\
+&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta (1 - \sin^{2} \theta) \cos \theta \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2 \pi} (3 \cos^{2} \phi - 1) \, d \phi \right \} \\
+&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \cos \theta (\sin^{3} \theta - \sin^{5} \theta) \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{3}{2} \cos 2 \phi + \frac{1}{2} \right ) \, d \phi \right \} \\
+&= 2 \left [ \frac{r^{8}}{8} \right ]_{0}^{a} \left [ \frac{\sin^{4} \theta}{4} - \frac{\sin^{6} \theta}{6} \right ]_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \left [ \frac{3 \sin 2 \phi}{2} + \phi \right ]_{0}^{2\pi} \\
+&= \frac{a^{8}}{8} \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) 2 \pi \\
+&= \frac{\pi a^{8}}{48}
 \end{align}
 </math><br>
 <br><br>
+== 2重積分の極座標変換 ==
+軸対称や球対称の関数を積分する際に用いられる極座標による積分である。<br>
+<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} \qquad D = \{ (x, y) \, | \, 0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty, \, - \infty < x < + \infty, \, - \infty < y < + \infty \}</math><br>
+<br>
+積分範囲の中に円 <math>0 \le x^{2} + y^{2} \le + \infty</math> が含まれている。<br>
+このように、円が含まれている時は極座標変換 <math>x = r \cos(\theta), \, y = r \sin(\theta), \quad (0 \le r, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math> とおく。<br>
+（ <math>r</math> は半径のため必ず <math>0</math> 以上、 <math>\theta</math> は最大でも1周分なので <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> または <math>- \pi \le \theta \le \pi</math> の制約がかかる点に注意する）<br>
+<br>
+ここで変数変換をおこなったのでヤコビアンを計算して <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める必要がある。<br>
+<math>
+\begin{align}
+J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\
+= & \left| \begin{array}{ccc} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| \\
+= & r \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\
+= & r
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+したがって、 <math>dx dy = r \ dr d \theta</math> となる。<br>
+<br>
+積分範囲は <math>0 \le r^2 < \infty, \ \ \ -1 \le r \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le r \sin(\theta) \le 1</math> となり、<br>
+<math>r \ge 0</math> のため、 <math>0 \leqq r \leqq \infty, \ \ \ -1 \le \cos(\theta) \le 1, \ \ \ -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となる。<br>
+<br>
+<math>\cos(\theta) \ge 0</math> かつ <math>\sin(\theta) \ge 0</math> を満たすような <math>\theta</math> は <math>0 \le \theta \le 2 \pi</math> なので、<br>
+変換後の積分範囲 <math>D'</math> は <math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変換でき、2重積分を計算することができる。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {e^{- (x^{2} + y^{2})} \, dx dy} &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- (r^{2} \cos^{2}(\theta) + r^{2} \cos^{2}(\theta))} \, r dr d \theta} \\
+&= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+ここで、更に変数変換を行う。<br>
+<math>t = r^{2}</math> とおくと、 <math>dt = 2r dr</math> となり、変数 <math>t</math> の積分範囲は、 <math>0 \le t < \infty</math> となる。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{- r^{2}} \, r dr d \theta} &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt d \theta} \\
+&= \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t} \, dt} \\
+&= \pi \Big[ - e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\
+&= \pi \, (0 + 1) \\
+&= \pi
+\end{align}
+</math><br>
+<br><br>
+== 2重積分の極座標変換 (楕円の場合) ==
+領域が円ではなく楕円の場合も、極座標変換して2重積分を行うことができる。<br>
+<br>
+<math>\iint_D \, dxdy \qquad D = \left\{ (x, y) \ | \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 \right\}</math><br>
+<br>
+領域が楕円の場合、分母にある <math>a^{2}</math> , <math>b^{2}</math> を消すために、極座標変換 <math>x = ar \cos(\theta), \ \ \ y = br \sin(\theta) \quad ( r \ge 0, \ \ 0 \le \theta \le 2 \pi )</math> とおく。<br>
+ヤコビアンを計算して、 <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める。<br>
+<math>
+\begin{align}
+J = & \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| \\
+= & \left| \begin{array}{ccc} a \cos \theta & - a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta \end{array} \right| \\
+= & \ abr \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \\
+ = & \ abr
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+よって、 <math>dxdy = abr \ dr d \theta</math> となる。<br>
+<br>
+また、積分範囲は <math>0 \le r^{2} < 1, \, \, -1 \le \cos(\theta) \le 1, \, \, -1 \le \sin(\theta) \le 1</math> となるので、<br>
+変換後の積分範囲 <math>D'</math> は、 <math>D' = \left\{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r < \infty, \, \, 0 \le \theta \le 2 \pi \, \right\}</math> の形にできる。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+\iint_D \, dxdy = & \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} abr \, dr d \theta \\
+= & ab \int_{0}^{1} {r} \, dr \int_{0}^{2 \pi} \, d \theta \\
+= & ab \Big[ \frac{r^{2}}{2} \Big]_{0}^{1} \cdot \Big[ \theta \Big]_{0}^{2 \pi} \\
+= & ab \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \\
+= & ab \pi
+\end{align}
+</math><br>
+<br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]