ベクトル - ベクトル方程式

概要

ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y=2x+1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル $P(\overrightarrow{p})$ の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。

直線のベクトル方程式

定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{0}$ でないベクトル $\overrightarrow{d}$ に平行な直線のベクトル方程式
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$

点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{0}$ でないベクトル $\overrightarrow{d}$ に平行な直線をgとする。
点 $P(\overrightarrow{p})$ が直線g上にあるということは、$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{d}$ と表すことができる。

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}$ より、
$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=t\overrightarrow{d}$
$\therefore \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$
と表すことができる。

この時、$\overrightarrow{d}$ を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。

また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。
原点をO、点Aの座標を $A(x1,y1)$、直線g上の任意の点を $P(x,y)$ として、$\overrightarrow{d}=(l,m)$ とする時、
ベクトル方程式は、次式となる。
$\begin{array}{rl}(x,y)& =(x_1,y_1)+t(l,m)\\ & =(x_1+lt,y_1+mt)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=x_1+lt\\ y=y_1+mt\end{array}$

媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。

点 $(x_1,y_1)$ を通り、$\overrightarrow{d}=(l,m)$ が方向ベクトルである直線の方程式
$m(x-x_1)-l(y-y_1)=0$

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義

異なる2点 $A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$ を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$
または
$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b},s+t=1$

平面上の異なる2点 $A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$ を通る直線上に，点 $P(\overrightarrow{p})$ があることを考える。

この時、$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$ と表されるので、次式となる。
$\begin{array}{rl}\overrightarrow{p}& =\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\ & =(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\end{array}$

上式の方程式において、$1-t=s$ とおく時、次式としても表すことができる。
$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

例. $A(2,1),B(3,3)$ の時、直線ABの式は $y=2x-3$ である。

P(x, y)として、ベクトルで考えると
$\begin{array}{rl}\overrightarrow{p}& =\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}\\ (x,y)& =\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\ & =(2,1)+t(1,2)\\ & =(t+2,2t+1)\end{array}$

したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。
$\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+1\end{array}$

上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 $y=2x-3$ が成り立つことがわかる。

定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義

定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、$\overrightarrow{0}$ でないベクトル $\overrightarrow{n}$ に垂直な直線のベクトル方程式
$\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})$
（$\overrightarrow{n}$ は直線の法線ベクトル）

下図に、定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{n}$ に垂直な直線を示す。

点 $P(\overrightarrow{p})$ がこの直線上にあるということは、$\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AP}$ である。
内積を用いて表すと、次式となる。
$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$
$\therefore \overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0$

例. 点 $A(2,1),B(3,3)$ 、直線ABの式 $y=2x-3$ とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。

P(x, y) として、ベクトルで考える。
$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{A}=0$
$\left(\begin{array}{c}x-2\\ y-1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=0$
$x-2+2y-2=0$
$2y=-x+4$
$y=-\frac{1}{2}x+2$

したがって、ベクトル方程式 $\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})$ を用いて、定点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{n}$ に垂直な直線を表すことができる。

ベクトルの終点の存在範囲

定義

ベクトルの終点の存在範囲の定義

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ とする。（s、tは実数の変数）
s、tに条件がある時，次のような図形を表す。

直線AB
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ s+t=1\end{array}$

線分AB
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ s+t=1\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ \end{array}$

$\mathrm{△}OAB$ の周と内部
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ 0\le s+t\le 1\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ \end{array}$

平行四辺形OACBの周と内部
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ 0\le s\le 1\\ 0\le t\le 1\\ \end{array}$

直線AB

異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 $P(\overrightarrow{p})$ が次式を満たしながら動く時、点 $P(\overrightarrow{p})$ の存在範囲は直線ABとなる。

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ s+t=1\end{array}$

線分AB

点 $P(\overrightarrow{p})$ の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。

• $t=0(s=1)$ の時、点 $P(\overrightarrow{p})$ は、点 $A(\overrightarrow{a})$ と一致する。
• $t=0.5(s=0.5)$ の時、点 $P(\overrightarrow{p})$ は、線分ABの中点に位置する。
• $t=1(s=0)$ の時、点 $P(\overrightarrow{p})$ は、点 $B(\overrightarrow{b})$ と一致する。

つまり、$0\le t\le 1(0\le s\le 1)$ の時、線分ABを表現することができる。

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ s+t=1\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ \end{array}\text{は 、 線 分 AB を 表 す }$

△OAB

例えば、$s+t=0.5$ の時、次式となり、
tを $0\le t\le 0.5$ の範囲で変化させると、点Pは、下図(1)のように、線分ABに平行な線分A'B'上を動く。

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{p}& =(0.5-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ & =0.5\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\ & =0.5\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}\end{array}$

そして、$s+t$ を、$0\le s+t\le 1$ の範囲で変化させると、線分A'B'は、上図(2)のように、△OABの全体を動く。

したがって、
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ 0\le s+t\le 1\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ \end{array}\text{は 、 △ OAB の 周 と 内 部 を 表 す }$

平行四辺形OACB

例えば、$s=0.5$ の時、$\overrightarrow{p}=0.5\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ となり、
tを $0\le t\le 1$ の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。

次に、sを $0\le s\le 1$ の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。

したがって、
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\\ 0\le s\le 1\\ 0\le t\le 1\\ \end{array}\text{は 、 平 行 四 辺 形 OACB の 周 と 内 部 を 表 す }$

円のベクトル方程式

中心がC，半径がrの円のベクトル方程式

中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義

3つの定点を $A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}),C(\overrightarrow{c})$ 、円周上の任意の点を $P(\overrightarrow{p})$ とする。
$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=r$
または
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})=r^2$

下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。

円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、$CP=r$ である。
ベクトルで表すと、$|\overrightarrow{CP}|=r\text{よ り }|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=r$ である。

ゆえに、$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}{|}^2=r^2$
したがって、$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})=r^2$

また、$C(a,b),P(x,y)$ として成分で表すと、$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ であり、円の方程式となる。

• 例. 点C(3, 2)が中心で、点R(1, 1)が通る円

P(x, y)、O(0, 0)、C(3, 2)、R(1, 1)とする。
$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CR}|$
$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OC}|$

$OP=(x,y),OC=(3,2),OR=(1,1)$ より、
$|(x-3,y-2)|=|(-2,-1)|$
$\sqrt{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{5}$
$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=5$

したがって、円の方程式は、$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=5$ となる。

直径がABの円のベクトル方程式

円のベクトル方程式の定義 2

3つの定点を $A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$ 、円周上の任意の点を $P(\overrightarrow{p})$ とする。
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$

下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。

直径に対する円周角は直角であるから、$AP\perp BP$ であり、 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ となる。
したがって、次式となる。
$(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB})=0$
$\therefore (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$

• 例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円

  円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

  $|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CR}|$

  $|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OC}|$

  
  

  $\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{OC}=(3,2),\overrightarrow{OR}=(1,1)$ より、

  $|(x-3,y-2)|=|(-2,-1)|$

  $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{5}$

  $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=5$

  
  

  したがって、$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=5$ となる。

  
  

• 例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円

  円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

  $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0\because \overrightarrow{AP}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BP}$

  $(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB})=0$

  
  

  $\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{OA}=(2,5),\overrightarrow{OB}=(4,1)$ より、

  $(x-2,y-5)\cdot (x-4,y-1)=0$

  $x^2-6x+y^2-6y+13=0$

  $(x-3{)}^2-9+(y-3{)}^2-9=-13$

  $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$

  
  

  したがって、$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$ となる。

円の接線のベクトル方程式

下図(1)のように、円の中心点 $C(\overrightarrow{c})$、円周上の接点を $P_0(\overrightarrow{p_0})$ とする時、接線上の点 $P(\overrightarrow{p})$ の位置ベクトルは、次式となる。

$\overrightarrow{P_{0}P}\cdot \overrightarrow{C{P}_0}=0$
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})=0$

また、下図(2)より、$|\overrightarrow{CP}|\cos \theta =|\overrightarrow{C{P}_0}|$

両辺に、$|\overrightarrow{C{P}_0}|$ を乗算すると、
$|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{C{P}_0}|\cos \theta =|\overrightarrow{C{P}_0}{|}^2$
$\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{C{P}_0}=r^2$

したがって、$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})=r^2(1)$ となる。

(1)式は、次のようにしても求めることができる。
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})=0$
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{p_0})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})=0$
これを展開する。
$\begin{array}{rl}(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})& =(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})\\ & =|\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c}{|}^2\\ & =r^2\end{array}$

点Pの位置ベクトルを $P(\overrightarrow{p})=(x,y)$、円の中心Cの位置ベクトル $C(\overrightarrow{c})=(a,b)$、接点P₀の位置ベクトル $P_0(\overrightarrow{p_0})=(x_0,y_0)$ とする。
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{c})=r^2$
$(x-a,y-b)\cdot (x_0-a,y_0-b)=r^2$
$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。

• 例. 円の中心 $C(1,1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円に、$P(2,2)$ で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。

  $\overrightarrow{OC}=(1,1),\overrightarrow{OA}=(2,2),\overrightarrow{OP}=(x,y)$ とする。

  $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=0⟹(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=0$ より、

  $(x-2,y-2)\cdot (1,1)=x-2+y-2=x-y-4=0$

  $\therefore y=-x+4$