ページの作成:「== 概要 == <br><br> == 一般解と特殊解 == n階常微分方程式の初期値問題において、n個の任意定数を含む解を、一般解という。<br> 一般解の任意定数に特別な値を代入して得られる解を、特殊解(特別解または特解)という。<br> <br> 1つの定数Cに対して、以下の初期値問題の解曲線を <math>y = y(x, C)</math> とする。<br> <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y) \qquad \mbox{( 1 階 常…」 |
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== 概要 == | == 概要 == | ||
微分方程式(differential equation)とは、未知関数とその導関数の関係式として記述される関数方程式である。<br> | |||
微分方程式は、常微分方程式(ordinary differential equation)と偏微分方程式(partial differential equation)に分類される。<br> | |||
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yをxの1変数関数とする時、yは <math>y = f(x)</math> または <math>f(x, y) = 0</math> と記述する。<br> | |||
この時、変数x、関数y、関数yの微分(導関数)である <math>\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d^2 y}{dx^2}, \quad \frac{d^3 y}{dx^3}, \cdots</math> を含んだ方程式を、常微分方程式という。<br> | |||
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微分方程式を満たす関数 <math>y = f(x)</math>、または、<math>f(x, y) = 0</math> を、その方程式の解または解曲線という。<br> | |||
微分方程式における解の関数(未知関数)を求めることを「微分方程式を解く」という。<br> | |||
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== 微分方程式の解 == | |||
全ての微分方程式に解が存在するとは限らない。<br> | |||
適当な条件を満たす初期値問題(initial value problem)については解の存在が保障されている。<br> | |||
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微分方程式の初期値問題の解には、以下の種類がある。<br> | |||
* 一般解 (general solution) | |||
* 特殊解 (particular solution)<br>特別解あるいは特解とも言う。 | |||
* 特異解 (singular solution) | |||
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== 初期値問題 == | |||
初期値問題とは、未知関数のある点における値を初期条件として備えた微分方程式のことである。<br> | |||
初期値問題は、コーシー問題(Cauchy problem)とも呼ばれる。<br> | |||
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現象を微分方程式でモデル化することは、ある初期値問題を解くことと同義である場合が多い。<br> | |||
そのような場合、微分方程式は与えられた初期条件に対して現象がどのように時間発展するかを特徴付ける発展方程式と見なされる。<br> | |||
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**: Cに0を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2</math> | **: Cに0を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2</math> | ||
**: Cに1を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2 + 1</math> | **: Cに1を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2 + 1</math> | ||
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* 2階常微分方程式 | * 2階常微分方程式 | ||
*: <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0</math> | *: <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0</math> | ||
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** 特異解 | ** 特異解 | ||
**: <math>y = \frac{x^2}{4}</math> (放物線) | **: <math>y = \frac{x^2}{4}</math> (放物線) | ||
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特別な場合の初期値問題については、解の存在とその一意性が保障されている。<br> | 特別な場合の初期値問題については、解の存在とその一意性が保障されている。<br> | ||
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定理(解の存在と一意性) | |||
2変数関数f(x, y)が点(a, b)を含むxy平面上のある領域において、連続かつ有限の値をとるならば、 | |||
初期値問題 <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(a) = b</math> は、少なくとも1つの解をもつ。 | |||
さらに、その領域で、f(x, y)がyに関して偏微分可能であり、<math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> が連続ならば、ただ1つの解をもつ。 | |||
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== 微分方程式の解曲線の直観的意味 == | |||
直観的意味. | |||
川の各地点ごとに流れの方向が決まっている時、曲折しながら流れる川で、水面に浮かぶ笹船の描く曲線が微分方程式の解曲線である。 | |||
解説. | |||
以下の微分方程式を考える。 | |||
<math>\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> | |||
ここで、<math>\frac{dy}{dx}</math> は、点(x, y)における接線の傾きである。 | |||
平面上の各点(x, y)に傾き、f(x, y)の小矢印を記入するとき、方向の場が与えられる。 | |||
曲線 <math>f(x, y) = k</math> 上のどの点にも同一の傾きkの小矢印が記入できる。 | |||
そのため、曲線 <math>f(x, y) = k</math> を等傾線と呼ぶことがある。 | |||
下図に示すように、<math>y(a) = b</math> という初期条件が与えられれば、点(a, b)を通って方向の場を表す小矢印と各点で接する曲線が、 | |||
微分方程式 <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> の解曲線である。 | |||
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川の各地点ごとに流れの方向が決まっている時、曲折しながら流れる川で、水面に浮かぶ笹船の描く曲線が微分方程式の解曲線である。 | |||
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人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。<br> | 人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。<br> | ||
<math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (時刻tにおける人口 : x(t))<br> | <math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (時刻tにおける人口 : x(t))<br> | ||
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人口(一般に生物の個体数)の増加は、その時点での人口に比例する。<br> | |||
時刻tにおける人口をx(t)とする時、以下に示す微分方程式が成立する。<br> | |||
<math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (マルサスの法則)<br> | |||
一般解は、<math>x = C e^{kt} \qquad</math> (Cは、任意定数)<br> | |||
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kは出生率aと死亡率bとの差 <math>a - b</math> である。(kは増殖率と呼ばれる)<br> | |||
<math>k > 0</math> (出生率 > 死亡率)ならば、人口は時間とともに指数関数的に増加する。<br> | |||
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* マルサスの法則 | |||
*: まだ、人口が少なく、食住環境が良好ならば、人口はマルサスの法則に従う。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - b)x</math> | |||
*: <br> | |||
* ロジスティック方程式 (死亡率bが人口に比例) | |||
*: 一方、次第に人口が増加し、食料や住居環境が悪くなってくると、人口増加は抑制される。 | |||
*: 例えば、食料の供給が制限されると、死亡率は一定ではなく、人口に比例する。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - bx)x</math> | |||
*: <br> | |||
* ゴムパーツ方程式 (死亡率bが人口の対数に比例) | |||
*: または、人口の対数に比例する。 | |||
*: <math>\frac{dx}{dt} = (a - b \, \ln{x})x</math> | |||
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==== ニュートンの運動方程式 ==== | ==== ニュートンの運動方程式 ==== | ||
物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。<br> | 物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。<br> | ||
この法則を数式で表すと、物体の位置xを未知関数とする微分方程式で表される。<br> | |||
<math>F = m \frac{d^2 x}{dt^2} \qquad</math> (F : 力、 m : 質量、 <math>\frac{d^2 x}{dt^2}</math> : 加速度)<br> | <math>F = m \frac{d^2 x}{dt^2} \qquad</math> (F : 力、 m : 質量、 <math>\frac{d^2 x}{dt^2}</math> : 加速度)<br> | ||
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ここで、Fは物体に働く力、 mは物体の質量、xは物体の時間tにおける位置を表す関数、<math>\frac{d^2 x}{dt^2}</math> は物体の加速度である。<br> | |||
また、<math>\frac{dx}{dt}</math> は物体の速度である。<br> | |||
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__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||