「極座標」の版間の差分 - MochiuWiki : SUSE, EC, PCB

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28行目:

\begin{cases}

r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\

\theta &= \operatorname{sgn}(y) \~~arccos~~ \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\

\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\

\end{cases}

</math>

原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。

==== ヤコビアン ====

2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算してdxdyとdrdθの関係式を求める必要がある。

<math>

\begin{align}

J &=

\begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\

\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}

\end{vmatrix} \\

&=

\begin{vmatrix}

\cos{\theta} & -r \sin{\theta} \\

\sin{\theta} & r \cos{\theta}

\end{vmatrix} \\

&= r \cos^{2}{\theta} + r \sin^{2}{\theta} \\

&= r

\end{align}

</math>

したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。

==== 例1. 円の積分 ====

以下の2重積分を求めよ。

<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | 1 \le x^{2} + y^{2} \le 4, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math>

このように円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。

積分範囲は、<math>1 \le r^{2} \le 4, \, r \cos{\theta} \ge 0, \, r \sin{\theta} \ge 0</math>となり、<math>r \ge 0</math>のため、<math>1 \le r \le 2, \, \cos{\theta} \ge 0, \, \sin{\theta} \ge 0</math>となる。

<math>\cos{\theta} \ge 0</math>かつ<math>\sin{\theta} \ge 0</math>を満たすθは、<math>0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}</math>なので、

変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 1 \le r \le 2, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形でき、2重積分を計算することができる。

<math>

\begin{align}

& \iint_D xy \ dxdy \\

=& \iint_{D'} r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \ drd \theta \\

=& \int^2_1 r^3 \ dr \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \cos{\theta} \ d \theta \\

=& \int^2_1 r^3 \ dr \ \frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{2 \theta} \ d \theta \\

=& \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]^2_1 \ \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]^{ \frac{\pi}{2} }_0 \\

=& (4 - \frac{1}{4}) \ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \\

=& \frac{15}{4} \times \frac{1}{2} \\

=& \frac{15}{8}

\end{align}

</math>

==== 例2. 楕円の積分 ====

以下の2重積分を求めよ。

<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math>

積分領域Dが楕円の場合、楕円の方程式<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>の分母a2とb2を消すため、極座標変換を行い、

<math>x = ar \cos{\theta}, \ y = br \sin{\theta} \ (r \ge 0, \ 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。

ヤコビアンを計算して dxdyとdrdθの関係式を求める。

<math>

\begin{align}

J &=

\begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\

\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}

\end{vmatrix} \\

&=

\begin{vmatrix}

a \cos{\theta} & -ar \sin{\theta} \\

b \sin{\theta} & br \cos{\theta}

\end{vmatrix} \\

&= abr \cos^{2}{\theta} + abr \sin^{2}{\theta} \\

&= abr

\end{align}

</math>

したがって、<math>dxdy = abr dr d \theta</math>となる。

また、積分範囲は、<math>0 \le r^2 \le 1, \ r \cos{\theta} \ge 0, \ r \sin{\theta} \ge 0</math>となるので、

変換後の積分領域D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 0 \le r \le 1, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形できる。

<math>

\begin{align}

& \iint_D y \ dxdy \\

=& \iint_{D'} ab^2 r^2 \sin{\theta} \ drd \theta \\

=& ab^2 \int^1_0 r^2 \ dr \ \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \ d \theta \\

=& ab^2 \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]^1_0 \left[ - \cos \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 \\

=& ab^2 \frac{1}{3} \times 1 \\

=& \frac{1}{3} ab^2

\end{align}

</math>

55行目:

136行目:

\begin{cases}

r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\

\theta &= \operatorname{sgn}(y) \~~arccos~~ \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\

\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\

z &= z

\end{cases}

88行目:

169行目:

Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。

原点においては、θも定まらない。

ヤコビアンにおいて、<math>dx dy dz</math> と <math>dr d \theta d \phi</math> の関係式は次式となる。

<math>

\begin{align}

J &=

\begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\

\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\

\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\

\end{vmatrix} \\

&=

\begin{vmatrix}

\sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\

\sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\

\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\

\end{vmatrix} \\

&= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi \\

&= r^2 (\sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^3 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^3 \theta \cos^2 \phi) \\

&= r^2 \left \{ \sin^3 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \sin \theta \cos^2 \theta ( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) \right \} \\

&= r^2 (\sin^3 \theta + \sin \theta \cos^2 \theta) \\

&= r^2 \sin \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\

&= r^2 \sin \theta

\end{align}

</math>

したがって、<math>dxdydz = r^2 \sin \theta \, dr d \theta d \phi</math> となる。

__FORCETOC__

[[カテゴリ:解析学]]

@@ 28行目: / 28行目: @@
 \begin{cases}
 r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
-\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
+\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
 \end{cases}
 </math><br>
 <br>
 原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。<br>
+<br>
+==== ヤコビアン ====
+重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算してdxdyとdrdθの関係式を求める必要がある。<br>
+<math>
+\begin{align}
+J &=
+\begin{vmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
+\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
+\end{vmatrix} \\
+  &=
+\begin{vmatrix}
+\cos{\theta} & -r \sin{\theta} \\
+\sin{\theta} & r \cos{\theta}
+\end{vmatrix} \\
+  &= r \cos^{2}{\theta} + r \sin^{2}{\theta} \\
+  &= r
+\end{align}
+</math><br>
+したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。<br>
+<br>
+==== 例1. 円の積分 ====
+<u>以下の2重積分を求めよ。</u><br>
+<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | 1 \le x^{2} + y^{2} \le 4, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math><br>
+<br>
+このように円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
+積分範囲は、<math>1 \le r^{2} \le 4, \, r \cos{\theta} \ge 0, \, r \sin{\theta} \ge 0</math>となり、<math>r \ge 0</math>のため、<math>1 \le r \le 2, \, \cos{\theta} \ge 0, \, \sin{\theta} \ge 0</math>となる。<br>
+<math>\cos{\theta} \ge 0</math>かつ<math>\sin{\theta} \ge 0</math>を満たすθは、<math>0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}</math>なので、<br>
+変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 1 \le r \le 2, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形でき、2重積分を計算することができる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+& \iint_D xy \ dxdy \\
+=& \iint_{D'} r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \ drd \theta \\
+=& \int^2_1 r^3 \ dr \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \cos{\theta} \ d \theta \\
+=& \int^2_1 r^3 \ dr \ \frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{2 \theta} \ d \theta \\
+=& \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]^2_1 \ \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]^{ \frac{\pi}{2} }_0 \\
+=& (4 - \frac{1}{4}) \ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \\
+=& \frac{15}{4} \times \frac{1}{2} \\
+=& \frac{15}{8}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+==== 例2. 楕円の積分 ====
+<u>以下の2重積分を求めよ。</u><br>
+<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math><br>
+<br>
+積分領域Dが楕円の場合、楕円の方程式<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>の分母a<sup>2</sup>とb<sup>2</sup>を消すため、極座標変換を行い、<br>
+<math>x = ar \cos{\theta}, \ y = br \sin{\theta} \ (r \ge 0, \ 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
+<br>
+ヤコビアンを計算して dxdyとdrdθの関係式を求める。<br>
+<math>
+\begin{align}
+J &=
+\begin{vmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
+\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
+\end{vmatrix} \\
+  &=
+\begin{vmatrix}
+a \cos{\theta} & -ar \sin{\theta} \\
+b \sin{\theta} & br \cos{\theta}
+\end{vmatrix} \\
+  &= abr \cos^{2}{\theta} + abr \sin^{2}{\theta} \\
+  &= abr
+\end{align}
+</math><br>
+したがって、<math>dxdy = abr dr d \theta</math>となる。<br>
+<br>
+また、積分範囲は、<math>0 \le r^2 \le 1, \ r \cos{\theta} \ge 0, \ r \sin{\theta} \ge 0</math>となるので、<br>
+変換後の積分領域D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 0 \le r \le 1, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形できる。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+ & \iint_D y \ dxdy \\
+=& \iint_{D'} ab^2 r^2 \sin{\theta} \ drd \theta \\
+=& ab^2 \int^1_0 r^2 \ dr \ \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \ d \theta \\
+=& ab^2 \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]^1_0 \left[ - \cos  \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 \\
+=& ab^2 \frac{1}{3} \times 1 \\
+=& \frac{1}{3} ab^2
+\end{align}
+</math><br>
 <br><br>
@@ 55行目: / 136行目: @@
 \begin{cases}
 r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
-\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
+\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
 z      &= z
 \end{cases}
@@ 88行目: / 169行目: @@
 Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br>
 原点においては、θも定まらない。<br>
+<br>
+ヤコビアンにおいて、<math>dx dy dz</math> と <math>dr d \theta d \phi</math> の関係式は次式となる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+J &=
+\begin{vmatrix}
+\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
+\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
+\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\
+\end{vmatrix} \\
+  &=
+\begin{vmatrix}
+\sin \theta \cos \phi  & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\
+\sin \theta \sin \phi  & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi   \\
+\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\
+\end{vmatrix} \\
+&= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi \\
+&= r^2 (\sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^3 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^3 \theta \cos^2 \phi) \\
+&= r^2 \left \{ \sin^3 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \sin \theta \cos^2 \theta ( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) \right \} \\
+&= r^2 (\sin^3 \theta + \sin \theta \cos^2 \theta) \\
+&= r^2 \sin \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\
+&= r^2 \sin \theta
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+したがって、<math>dxdydz = r^2 \sin \theta \, dr d \theta d \phi</math> となる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]