応用数学 - 高階線形常微分方程式のソースを表示

== 概要 ==
3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。<br>
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より高階の微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> の形の常微分方程式を考える。<br>
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このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを正規形と呼ぶ。<br>
<math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。<br>
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2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> である。<br>
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== 高階定数係数線形同次常微分方程式 ==
n階定係数線形同次微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx} + a_{1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx} + \cdots + a_{n - 1} \frac{df(x)}{dx} + a_{n} f(x) = 0</math> の一般解は、<br>
基本解(n個の線形独立な解の組) <math>(y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n})</math> を用いて、次式のように表現することができる。<br>
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<math>y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + \cdots + C_{n} y_{n} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math><br>
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n階定係数線形同次微分方程式の解全体は、n次元線形空間をつくる。<br>
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この方程式の基本解(n個の線形独立な解の組) <math>(y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n})</math> は、<br>
この方程式の特性方程式 <math>\lambda_{n} + a_{1} \lambda_{n - 1} + \cdots + a_{n -1} \lambda + a_{n} = 0</math> を解くことによって求めることができる。<br>
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== 高階定数係数線形同次常微分方程式の例題 ==
==== 例題 1 ====
 以下の微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 2 \frac{dy}{dx} = 0</math>
 
 解答:
 与式の特性方程式は、次のようになる。
 <math>\lambda^{3} - 3 \lambda^{2} + 2 \lambda = 0</math>
 
 これを解くと、 <math>\lambda (\lambda^{2} - 3 \lambda + 2) = 0</math> より、 <math>\lambda (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0</math> より、 <math>\lambda = 0, 1, 2</math> となる。
 
 これより、基本解は <math>(1, \, e^{x}, \, e^{2x})</math> となる。
 したがって、一般解は次のようになる。
 
 <math>y = C_{1} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 })</math>
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==== 例題 2 ====
 以下の微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} - 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - \frac{dy}{dx} + 2y = 0</math>
 
 解答:
 与式の特性方程式は、次のようになる。
 <math>\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - \lambda + 2 = 0</math>
 
 これを解くと、 <math>\lambda^{2} (\lambda - 2) - (\lambda - 2) = 0</math> より、
 <math>
 \begin{array}{lcl}
 (\lambda^{2} - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\
 (\lambda + 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0
 \end{array}
 </math>
 より、 <math>\lambda = -1, \, 1, \, 2</math> となる。
 
 これより、基本解は <math>(e^{-x}, \, e^{x}, \, e^{2x})</math> となる。
 したがって、一般解は次のようになる。
 
 <math>y = C_{1} e^{-x} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 })</math>
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==== 例題 3 ====
 以下の微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} = 0</math>
 
 解答:
 与式の特性方程式は、次のようになる。
 <math>\lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + \lambda = 0</math>
 
 これを解くと、 <math>\lambda (\lambda + 1)^{2} = 0</math> より、
 <math>\lambda = 0, \, \lambda = -1 \quad ( \mbox{ 重 解 } )</math>
 となる。
 
 これより、基本解は <math>(1, \, e^{-x}, \, x e^{-x})</math> となる。
 したがって、一般解は次のようになる。
 
 <math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math>
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==== 例題 4 ====
 以下の微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 3 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 3 \frac{dy}{dx} + y = 0</math>
 
 解答:
 与式の特性方程式は、次のようになる。
 <math>\lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 3 \lambda + 1 = 0</math>
 
 これを解くと、 <math>(\lambda + 1)^{3} = 0</math> より、
 <math>\lambda = -1 \quad ( \mbox{ 3 重 解 } )</math> となる。
 
 これより、基本解は <math>(e^{-x}, \, x e^{-x}, \, x^{2} e^{-x})</math> となる。
 したがって、一般解は次のようになる。
 <math>y = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x} + C_{3} x^{2} e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math>
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