ロピタルの定理のソースを表示

== 概要 ==
ロピタルの定理は、ある値 <math>c</math>の区間 <math>(- \infty \leqq c \leqq \infty)</math> を含むある区間Iがあり、関数<math>f, \, g</math> はその内部で微分可能で、<br>
<math>\lim{x \to c} f(x) = \lim{x \to c} g(x)</math> かつその値が <math>0</math> または <math>\pm \infty</math> であり、<br>
かつ、極限 <math>\lim {x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> が存在し、<br>
かつ、区間Iにおける <math>c</math> の除外近傍において、<math>\frac{dg(x)}{dx} \ne 0</math> が成り立つならば、<math>\lim_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> であることを主張する。<br>
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つまり、分子と分母を微分することにより、不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換して、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。<br>
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== ロピタルの定理 ==
ロピタルの定理は、以下に示す2つの条件が前提となっている。<br>
* <math>\lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}</math> が存在すること。
* <math>x</math> の収束先(極限の近くで)が実数である場合、<math>\frac{dg(x)}{dx} \ne 0</math> となること。
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 定理 :
 
 aを実数とする。
 aの周辺（つまり、ある <math>\gamma > 0</math> が存在して、<math>a - \gamma < x < a, \quad a < x < a + \gamma</math> )において、<math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> は微分可能とする。
 また、<math>\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0</math> とする。
 
 この時、<math>\lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}</math> が存在（実数に収束）し、
 かつ、<math>\frac{dg(x)}{dx} \ne 0 \quad (a - \gamma < x < a,, a < x < a + \gamma)</math> ならば、
 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}</math>
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ロピタルの定理は、極限の計算のために微分を使用するが、微分の計算には極限の計算が必要である。<br>
そのため、循環論法に陥ることがある。<br>
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例えば、<math>\sin{x}</math> の微分を用いて <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}</math> を計算する場合、<br>
<math>\sin{x}</math> の微分の計算には <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}</math> が必要となる。<br>
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このような問題点もあるので、ロピタルの定理は値の確認用として使用することを推奨する。<vr>
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== ロピタルの定理が使用できる場合 ==
 例題1 :
 <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}</math>
 
 解答 :
 <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}}{1} = 1</math>⁡
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 例題2 :
 <math>\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin{x}}{x^{3}}</math>
 
 解答 :
 <math>
 \begin{align}
 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin{x}}{x^{3}} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{3x^{2}} \\
 &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{6x} \\
 &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}}{6} \\
 &= \frac{1}{6}
 \end{align}
 </math> 
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 例題3 :
 <math>\lim_{x \to 1} \frac{\log(x)}{x - 1}</math>
 
 解答 :
 <math>\lim_{x \to 1} \frac{\log(x)}{x - 1} = \frac{1}{x} = 1</math>
<br>
 例題4 :
 <math>\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}</math>
 
 解答 :
 <math>
 \begin{align}
 \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} &= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^{x}} \\
 &= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} \\
 &= 0
 \end{align}
 </math>
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== ロピタルの定理が使用できない場合 ==
上記の2つの条件が成立していない場合は、ロピタルの定理は使用できない。<br>
以下の例では、<math>\lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}</math> が存在するという条件が満たされない場合である。<br>
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 <math>M = \lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos{x}}{x}</math>
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上記の例は、<math>\frac{\infty}{\infty}</math> の不定形なのため、ロピタルの定理を使用すると、<math>\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \sin{x}}{1}</math> となり振動する。<br>
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この場合、はさみうちの原理を用いると <math>M = 1</math> であることがわかる。<br>
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 # はさみうちの定理を使用する場合
 
 <math>-1 \leqq \cos{x} \leqq 1</math> である。
 上式の両辺に <math>x</math> を加え、さらに符号をそろえると、<math>x - 1 \leqq x - \cos{x} \leqq x + 1</math> となる。
 
 <math>x \to \infty</math> では十分大きい <math>x > 0</math> を考えられるので、
 各辺を <math>x</math> で除算すると、<math>1 - \frac{1}{x} \leqq \frac{x - \cos{x}}{x} \leqq 1 + \frac{1}{x}</math> を得る。
 
 ここで、<math>\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1</math>, <math>\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1</math> である。
 
 したがって、はさみうちの定理より、<math>\lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos{x}}{x} = 1</math> となる。
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]