論理数学 - 写像のソースを表示

== 概要 ==
写像 (関数) とは、ある集合Aの全ての要素に対して、集合Bの要素をただ1つ返すものである。<br>
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この時、集合Aを始域または定義域、集合Bを終域、関数の対応先となり得る集合𝐵の部分集合を値域という。<br>
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== 写像の定義 ==
 定義 :
 
 集合Aの全ての要素に対して、その要素を入力すると集合Bの特定の要素をただ1つ出力するものを関数 (function) または 写像 (mapping) という。
 この時、集合Aをその写像の始域または定義域 (domain) といい、集合Bを終域 (codomain) という。
 
 また、集合Aを入力したときの出力となり得る集合Bの部分集合全体を関数 (写像) の値域 (像 range) という。
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写像についての注意点を、以下に示す。<br>
* 始域Aの全ての要素において、終域Bの要素をただ1つ返すこと。
* 始域Bの要素であれば、どの要素を返してもよい。<br>始域Aの各々の要素に対して、終域Bの同じ要素を返してもよい。<br>また、終域Bの全ての要素を対応付ける必要はない。
* 終域は、値域と呼ばれることもある。
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== 恒等写像 ==
 定義 :
 
 集合X上の写像 (定義域Xと終域Xが同一である写像) において、<math>\forall a \in X</math> に対して <math>f (a) = a</math> が成り立つ時、<math>f</math> を <math>X</math> 上の恒等写像という。
 
 補足 :
 <math>\forall a \in X</math> は、集合Xの任意の要素aという意味である。
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== 写像の表記 ==
写像は関数 (function) の頭文字を用いて、<math>f</math>と表記されることが多い。<br>
2つ以上の写像がある場合は、アルファベット順に<math>f, \, g, \, h, \, \cdots</math> 等と表記する。<br>
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始域が集合A、終域が集合Bである写像 <math>f</math> を、<math>f : A \longrightarrow B</math> と記述する。<br>
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集合Aの各要素 <math>x \in A</math> に対して、それに対応する集合Bの要素が <math>y \in B</math> であるとき、これを <math>f(x) = y</math> または <math>f : x \longmapsto y, \quad x \overset{f}{\longmapsto} y</math> と記述する。<br>
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また，終域・値域は、<math>f(A) = \{ f(x) \in B | x \in A \}</math> と記述する。<br>
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== 写像の例 ==
<math>R</math> は実数全体の集合、<math>Z</math> は整数全体の集合を表す。<br>
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 例題 1:
 
 <math>f : \{ a, b, c, \cdots, z \} \longrightarrow \{ A, B, C, \cdots, Z \}</math> があるとする。
 この写像は、英語の小文字を入力する時、その大文字を出力する。
 
 この時、<math>f(a) = A, f(b) = B</math> であり、終域・値域は <math>\{ A, B, C, \cdots, Z \}</math> である。
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 例題 2:
 
 <math>f : \Z \longrightarrow \Z</math> があるとする。
 この写像は、整数を入力する時、2で剰余した値を出力する。
 
 この時、<math>3 \longmapsto 1, \quad 8 \longmapsto 0</math> であり、値域は <math>\{0, 1 \}</math> である。
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 例題 3:
 
 <math>f : \R \longrightarrow \R</math> があるとする。
 この写像は、<math>f(x) = x^{2}</math> と定義する。
 
 この時、<math>f(0) = 0, \quad f(2) = 4</math> であり、値域は <math>\{ x \in R \, | \, x \ge 0 \}</math> である。
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== 単射 ==
 定義 :
 
 始域Xから終域Yへの写像fが <math>\forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X</math> に対して、常に <math>x_{1} \ne x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ne f(x_{2})</math> を満たす時、
 写像fは単射 (１対１対応) であるという。
 
 補足 :
 対偶 <math>\forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X</math> に対して、常に <math>f(x_{1}) = f(x_{2}) \rightarrow x_{1} = x_{2} </math> を満たす、と同義である。
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[[ファイル:Logical Mathematics Injection 1.png|フレームなし|中央]]
<center>図(a). 単射の例<br>図(b). 単射でない例</center><br>
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== 全射 ==
 定義 :
 
 始域Xから終域Yへの写像fについて、<math>\forall y \in Y</math> に対して、常に <math>y = f(x)</math> を満たす要素 <math>x \in X</math> が存在する時、
 写像fは全射（上への対応）であるという。
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[[ファイル:Logical Mathematics Surjection 1.png|フレームなし|中央]]
<center>図(a). 全射の例<br>図(b). 全射でない例</center><br>
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== 全単射 ==
 定義 :
 
 全射であり、かつ、単射である写像を全単射 (上への１対1対応) という。
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[[ファイル:Logical Mathematics Bijection 1.png|フレームなし|中央]]
<center>図(a). 単射の例<br>図(b). 全射の例<br>図(c). 全単射の例</center><br>
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== 逆写像 ==
 定義 :
 
 集合Xから集合Yへの写像fが全単射である時、<math>\forall y \in Y</math> に対して、
 <math>y = f(x)</math> を満たす要素 <math>x \in X</math> を対応させる写像をfの逆写像といい、<math>f^{-1}</math> で表す。
 
 <math>y = f(x) \, \iff \, x = f^{-1}(y)</math>
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<center>図(a). 写像<br>図(b). 逆写像</center><br>
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 例 :
 <math>f(x) = 2x + 1</math> の逆写像 <math>y = 2x + 1</math> とおき、xについて解く。
 
 <math>
 \begin{array}{lcl}
 2x &=& y - 1 \\
 x  &=& \dfrac{1}{2} y - \dfrac{1}{2}
 \end{array}
 </math>
 
 したがって、
 <math>f^{-1} (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math>
 
 一般的に、写像はxの式で表すので、yをxに置き換えて次式のように表す。
 <math>f^{-1} (x) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math>
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]