ロルの定理のソースを表示

== 概要 ==

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== 最大値の定理 ==
 定理 :
 
 有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。<br>
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== ロルの定理 ==
 定理 :
 
 区間 <math>[a, b]</math> で連続、<math>(a, b)</math> で微分可能、<math>f(a) = f(b)</math> である関数 <math>f(x)</math> に対して、<br>
 <math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> を満たす <math>c</math> が存在する。
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 証明 :
 
 * <math>f(x)</math> が区間内で定数関数の時、<math>a < c < b</math> なる任意の <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> となる。
 
 * <math>f(a) < f(t)</math> なる <math>t</math> が存在する時、最大値の定理より、<math>a < c < b</math> で <math>c</math> が最大となるような <math>c</math> が存在する。
 この時、<math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> を証明する。
 
 <math>f(x)</math> が <math>x = c</math> で微分可能であることと、<math>f(c) \geqq f(c + h)</math> より、
 <math>\frac{df(c)}{dx} = \lim{h \to +0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} \leqq 0</math>
 <math>\frac{df(c)}{dx} = \lim{h \to -0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} \geqq 0</math>
 つまり、
 <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math>
 
 * <math>f(a) > f(t)</math> なる <math>t</math> が存在する時も同様 （最小値を考える）
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== 平均値の定理 ==
 定理 :
 
 区間 <math>[a, b]</math> で連続、<math>(a, b)</math> で微分可能な関数 <math>f(x)</math> に対して、
 <math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> を満たす <math>c</math> が存在する。
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<math>f(a) = f(b)</math> なる関数に、平均値の定理を用いるとロルの定理が出てくる。<br>
つまり、平均値の定理はロルの定理の一般化である。<br>
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平均値の定理はロルの定理の一般化と看做せるが、ロルの定理から簡単に導出することもできる。<br>
ロルの定理を用いるために、関数 <math>f(x)</math> に1次関数を加えてロルの定理の条件「両端の値が等しい」ことを満たすような関数 <math>g(x)</math> を作る。<br>
 証明 :
 
 関数 <math>g(x) = f(x) + Ax</math> を考える。
 <math>g(a) = g(b)</math> となるような <math>A</math> を探す。
 
 <math>f(a) + Aa = f(b) + Ab</math>
 <math>\implies A(a - b) = f(b) - f(a)</math>
 <math>\implies A = \frac{f(b) - f(a)}{a - b}</math>
 <math>\implies A = - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>
 
 つまり、<math>g(x) = f(x) - x \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> という関数は、<math>g(a) = g(b)</math> を満たす。
 したがって、ロルの定理が使用することができ、<math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{dg(c)}{dx} = 0</math> を満たす <math>c</math> が存在する。
 
 <math>\frac{dg(c)}{dx} = \frac{df(c)}{dx} - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> であるため、平均値の定理は示される。
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]