応用数学 - 広義積分と無限積分のソースを表示

== 概要 ==
広義積分および無限積分について理解する。<br>
<br><br>

== 極限の例題 ==
 例題:
 <math>
 f(x) =
 \begin{cases}
 x & \qquad (x < 1) \\
 0 & \qquad (x \ge 1)
 \end{cases}
 </math>
 について、以下の極限を求めよ。
 
 (1) <math>\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)}</math>
 (2) <math>\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)}</math>
 (3) <math>\lim_{x \to 1}{f(x)}</math>
 (4) <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)}</math>
 (5) <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)}</math>
 
 [[ファイル:Improper Integral 1.png|フレームなし|中央]]
 
 解答:
 (1)
 xを正の方向から1に近づけた極限なので、
 <math>\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)} = 0</math>
 
 (2)
 xを負の方向から1に近づけた極限なので、
 <math>\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)} = 1</math>
 
 (3)
 xを正と負の両方から近づけた極限である。
 しかし、(1)(2)より、右側極限と左側極限は一致しない。
 そのため、一定の値には収束しないので、
 <math>\lim_{x \to 1}{f(x)}</math> は値なし。
 
 (4)
 xを限りなく大きくしたときの極限なので、
 <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)} = 0 \qquad ( \mbox{ 収 束 } )</math>
 
 (5)
 xを限りなく小さくしたときの極限なので、
 <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)} = - \infty \qquad ( \mbox{ 発 散 } )</math>
<br><br>

== 連続な関数 ==
 定義:
 関数 <math>f(x)</math> が <math>x = a</math> で連続とは、以下の条件を満たすことである。
 (1) <math>f(a)</math> が存在する。
 (2) <math>\lim_{x \to a} {f(x)}</math> が存在する。
 (3) <math>\lim_{x \to a} {f(x)} = f(a)</math>
 
 関数 <math>f(x)</math> が区間Iで連続とは、以下の条件を満たすことである。
 区間Iの任意の値aについて、<math>f(x)</math> は <math>x = a</math> で連続。
<br><br>

== 区分的に連続な関数 ==
 定義:
 <math>a \le x \le b</math> で定義された関数 <math>f(x)</math> が以下の条件を満たすとき、 <math>f(x)</math> は <math>a \le x \le b</math> で区分的に連続(piecewisely continuous)であるという。
 
 (1) <math>f(x)</math> は <math>a \le x \le b</math> において有限個の点を除いて連続である。
 (2) <math>f(x)</math> の不連続な点cにおいては、以下で示す右側極限と左側極限が存在する。
     <math>\lim_{x \to c + 0} {f(x)} \qquad \lim_{x \to c - 0} {f(x)}</math>
 
 <math>f(x)</math> が <math>a \le x \le b</math> で区分的に連続であるとは、言い換えると以下の条件を満たすことである。
 (1) 不連続な点があっても有限個である。
 (2) 不連続な点では、値が <math>+ \infty</math> や <math>- \infty</math> に発散したり振動したりしない。
 
 このような区分的に連続な関数に対しては、連続な関数とほぼ同様に定積分を行うことができる。
<br>
下図に、区分的に連続な関数を示す。<br>
[[ファイル:Improper Integral 2.png|フレームなし|中央]]
<center>図. <math>a \le x \le b</math> において区分的に連続な関数 <math>f(x)</math></center><br>
<br>
ラプラス変換では、このような関数を扱う。<br>
<br><br>


__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]