応用数学 - 1階常微分方程式のソースを表示

== 概要 ==
1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。<br>
これらは方程式の形により分類される。<br>
* 変数分離形微分方程式
* 同次形微分方程式
* 1階線形微分方程式
* ベルヌーイ形微分方程式
* 完全微分方程式
<br><br>

== <math>\frac{dy}{dx}</math>の扱い ==
以下の命題は、<math>\frac{dy}{dx}</math> は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。<br>
<br>
 命題1.
 <math>\int{ \left ( g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{g(y)dy}</math>
 
 証明.
 <math>y = \phi(x)</math> とおいて、両辺をxで微分すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d \phi}{dx}</math>
 置換積分の公式より、<math>\int{g(y)dy} = \int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx}</math>
 <math>y = \phi(x)</math> より、
 <math>\int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx} = \int{ \left (g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx}</math>
<br>
 命題2.
 <math>g(y)dy = f(x)dx \Rightarrow \int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math>
 
 証明.
 <math>g(y) dy = f(x) dx</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号 <math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。
 <math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math>
 
 両辺をxで積分すると次式となる。
 <math>\int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{f(x) dx}</math>
 
 左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
 <math>\int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math>
<br>
 命題3.
 <math>f(x) dx + g(y)dy = 0 \Rightarrow \int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 
 証明.
 <math>f(x) dx + g(y) dy = 0</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号<math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。
 <math>f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) = 0</math>
 
 この両辺をxで積分すると次式となる。
 <math>
 \begin{align}
 \int{f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= 0 \\
 \int{f(x) dx} + \int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= C
 \end{align}
 </math>
 
 左辺第2項に命題1を適用して整理する。
 <math>\int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
<br><br>

== 変数分離形微分方程式 ==
f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。<br>
<math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math><br>
<br>
変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。<br>
* <math>g(y)dy = f(x)dx</math>
* <math>f(x)dx - g(y)dy = 0</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)h(y) \quad \because h(y) = \frac{1}{g(y)}</math>
<br>
* 変数分離形の例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2xy</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1) \left (y + \frac{1}{y} \right )</math>
*: <br>
* 変数分離形ではない例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2x + 3y</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = x - y</math>
<br>
 例題1. 
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = x</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 dy &= x dx \\
 \int{dy} &= \int{x dx} \\
 y &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題2.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = y</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \frac{1}{y} dy &= dx \\
 \int{\frac{1}{y} dy} &= \int{dx} \\
 \ln{|y|} &= x + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 |y| &= e^{x + C} \\
 y &= \plusmn e^C e^x \\
 y &= C e^x \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題3.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>y dy = x dx</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \int{y dy} &= \int{x dx} \\
 \frac{1}{2} y^2 &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 y^2 &= x^2 + 2C \\
 y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題4.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>x dx - (1 + x^2) dy = 0</math>
 
 解答.
 <math>dy = \frac{x}{1 + x^2}</math> とおく。
 <math>
 \begin{align}
 \int{dy} &= \int{\frac{x}{1 + x^2} dx} \\
 y &= \frac{1}{2} \int{\frac{2x}{1 + x^2}} \\
 y &= \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 \end{align}
 </math>
<br><br>

== 同次形微分方程式 ==
<math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br>
<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br>
<br>
同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。<br>
<br>
 変数分離形として記述できることの説明
 
 <math>u = \frac{y}{x}</math> とおけば、<math>y = ux</math> より、積の微分公式を使用して、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math> となる。
 これを、<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math> に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = f(u)</math> となる。
 したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{f(u) - u}{x}</math>
 
 これは未知関数uの変数分離形である。
<br>
同次形微分方程式の例<br>
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = 2 \left ( \frac{y}{x} \right )^3 + \frac{y}{x}</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。
<br>
 例題.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
 
 解答.
 <math>\frac{y}{x} = u</math> とおくと、<math>y = ux</math>
 積の微分公式より、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math>
 
 これを微分方程式に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = u + 1</math> となり、各項を計算すると、<math>\frac{du}{dx} x = 1</math> となる。
 したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}</math> であるため、変数分離形となる。
 
 この両辺をxで積分すると、
 <math>
 \begin{align}
 \int{\frac{du}{dx} dx} &= \int{\frac{1}{x}} dx \\
 \int{du} &= \int{\frac{1}{x} dx} \\
 u &= \ln|x| + C
 \end{align}
 </math>
 
 <math>u = \frac{y}{x}</math> であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
 <math>\frac{y}{x} = \ln|x| + C</math>
 
 したがって、一般解は、
 <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math>
<br><br>

== 1階線形微分方程式 ==
==== 1階線形微分方程式とは ====
<math>f(x), g(x)</math> をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。<br>
 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \quad \cdots (1)</math>
<br>
上式(1)の中で、<math>g(x) = 0</math> の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。<br>
 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0 \quad \cdots (2)</math>
<br>
上式(1)の中で、<math>g(x) \ne 0</math> の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。<br>
<br>
 同次方程式は、変数分離形の方程式となる。
 
 理由.
 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0 \quad \mbox{( 同 次 方 程 式 )}</math> を記述し直すと、
 <math>\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = - f(x) \quad (y \ne 0)</math> となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。
<br>
• まとめ:
* 同次方程式(変数分離形)
*: <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0</math>
* 非同次方程式
*: <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \quad (g(x) \ne 0)</math>
<br>
1階線形微分方程式の例<br>
* <math>\frac{dy}{dx} + y = x</math>
* <math>\frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 5x^2</math>
* <math>\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin{x}</math>
<br>
1階線形微分方程式ではない例<br>
* <math>y^n (n \ge 2)</math> の項があるものは、非線形である。
: 例. <math>\frac{dy}{dx} + 2xy = 2xy^4 \qquad</math> (ベルヌーイ形の微分方程式)
<br>
==== 1階線形微分方程式の一般解 ====
 定理
 1階線形微分方程式 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x)</math> の一般解は、以下の公式で表される。
 <math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C } \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) }</math>
 
 ここで、<math>h(x) = e^{\int{f(x) dx}}</math>
 <math>\int{f(x) dx}</math> は <math>f(x)</math> の原始関数の1つ
 
 上式にある <math>h(x)</math> を積分因子(integrating factor)という。
<br>
==== 1階線形微分方程式の一般解の証明 ====
1階線形微分方程式 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \cdots (1)</math> の両辺に <math>h(x) = e^{\int{f(x) dx}} \cdots (2)</math>を乗算すると、次式が得られる。<br>
<math>
\begin{align}
\left ( \frac{dy}{dx} + f(x) y \right ) h(x) &= g(x)h(x) \\
\frac{dy}{dx} h(x) + y (f(x) h(x)) &= g(x)h(x) \cdots (3)
\end{align}
</math><br>
<br>
ここで、<math>f(x) h(x) = \frac{dh(x)}{dx}</math> である。<br>
なぜなら、上式(2)において、<math>u = \int{f(x) dx}</math> とおくと、<math>h(x) = e^u</math> であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。<br>
<math>
\begin{align}
\frac{dh(x)}{dx} &= \frac{d e^u}{dx} \frac{du}{dx} \\
&= e^u \frac{d}{dx} \left \{ \int{f(x) dx} \right \} \\
&= f(x) e^u \\
&= f(x)h(x)
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>f(x) h(x) = \frac{dh(x)}{dx}</math> を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、<math>\frac{dy}{dx} h(x) + y \frac{dh(x)}{dx} = g(x) h(x)</math><br>
さらに、積の微分公式より、<math>\frac{d}{dx} (y h(x)) = g(x) h(x) \cdots (4)</math> となる。<br>
<br>
上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。<br>
<math>y h(x) = \int{g(x) h(x) dx + C}</math><br>
<br>
したがって、一般解は次式で表される。<br>
<math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
QED.<br>
<br>
==== 1階線形微分方程式の例題 ====
 例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>x \frac{dy}{dx} + y = 2x</math>
 
 解答.
 両辺をxで割ると、<math>\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2</math> より、
 <math>f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = 2</math> となる。
 
 積分因子 <math>h(x)</math> を求める。
 <math>h(x) = e^{\int{f(x) dx}} = e^{\int{\frac{1}{x} dx}} = e^{\ln(|x|)} = |x| \cdots (2)</math>
 
 上記の式を <math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \}</math> に代入すると、
 <math>y = \frac{1}{|x|} \left \{ \int{2 |x|dx + C} \right \}</math>
 
 ここで、<math>|x| = \plusmn x</math> より、
 <math>
 \begin{align}
 y &= \frac{1}{\plusmn x} \left \{ \int{2 (\plusmn) x dx + C} \right \} \\
 &= \frac{1}{x} \left \{ \int{2x dx + C} \right \} \\
 &= \frac{1}{x} (x^2 + C) \\
 &= x + \frac{C}{x}
 \end{align}
 </math>
 
 ゆえに、一般解は次式となる。
 <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
<br><br>

== ベルヌーイ形微分方程式 ==
==== ベルヌーイ形微分方程式とは ====
<math>f(x), \, g(x)</math> をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、ベルヌーイ(Bernoulli)形微分方程式という。<br>
 <math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) yk \quad (k \ne 0, 1) \cdots (1)</math><br>
<br>
ベルヌーイ形方程式は、<math>u = y^{1 - k}</math> とおくことにより、1階線形微分方程式に記述することができる。<br>
上式(1)において、<math>k = 0, \, k = 1</math>の場合は、それぞれ、変数分離形微分方程式、1階線形微分方程式になる。(そのため、kの条件 <math>k \ne 0, 1</math> で排除している)<br>
<br>
 ベルヌーイ形微分方程式の例.
 ある値域(人口N人)のファッションの伝搬速度は、ファッションに参加している人数yと未参加者N - yの両方に比例すると考えられる。
 <math>\frac{dy}{dx} = ky (N - y) \qquad</math> (ロジスティック方程式)
 
 この方程式を書き直すと以下のベルヌーイ形になる。
 <math>\frac{dy}{dx} - kNy = - ky^2 \qquad</math> (ベルヌーイ形)
<br>
==== ベルヌーイ形微分方程式の1階線形微分方程式への変換 ====
<math>\frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) y^k (k \ne 0, 1) \cdots (1)</math> において、<math>y \ne 0</math>の場合を考える。( <math>y = 0</math> は、式(1)の解の1つである)<br>
<br>
右辺からyを消すため、両辺を <math>y^k</math> で除算すると、<br>
<math>y - k \frac{dy}{dx} + f(x) y^{1 - k} = g(x) \cdots (2)</math><br>
<br>
ここで、<math>\frac{d}{dx}(y^{1 - k}) = (1 - k)y^{-k} \frac{dy}{dx}</math> という事実に着目して、上式(2)の両辺に <math>1 - k</math> を乗算すると、<br>
<math>(1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx} + (1 - k) f(x) y^{1 - k} = (1 - k) g(x)</math><br>
<br>
ここで、<math>u = y^{1 - k}, \quad \frac{du}{dx} = (1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx}</math> とおき、未知関数をyからuへ変換する。<br>
この時、未知関数uの1階線形微分方程式となる。<br>
<math>\frac{du}{dx} + (1 - k) f(x) u = (1 - k) g(x)</math><br>
<br>
==== ベルヌーイ形微分方程式の例題 ====
 例題1.
 次の微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4</math>
 
 解答.
 <math>\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4</math> の両辺を <math>y^4</math> で除算して、<math>1 - 4 = -3</math> を乗算する。
 <math>-3y -4 \frac{dy}{dx} - 6x y^{-3} = -6x</math>
 
 ここで、<math>u = y^{-3}</math> とおくと、<math>\frac{du}{dx} = -3y^{-4} \frac{dy}{dx}</math> となるため、
 <math>\frac{du}{dx} - 6xu = -6x</math> となり、未知関数uに関する1階線形微分方程式である。
 
 1階線形微分方程式の公式を使用する。
 積分因子 : <math>h(x) = e^{- \int{6x dx}}</math>
 <math>
 \begin{align}
 u &= e^{\int{6x dx}} \left \{ \int{-6x e^{- \int{6x dx}} dx + C} \right \} \\
 &= e^{3x^2} \left \{ \int{-6x e^{-3x^2} dx + C} \right \} \\
 &= e^z \left \{ \int{-6x e^{-z} dx + C} \right \}  \qquad (\because z = 3x^2) \\
 &= e^z (e^{-z} + C) \\
 &= 1 + C e^z
 \end{align}
 </math>
 
 ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。
<br><br>

== 完全微分方程式 ==
==== 完全微分方程式とは ====
x, yを変数とする以下の微分方程式を考える。<br>
 <math>f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \cdots (1)</math>
<br>
この時、上式(1)の左辺が、ある関数 <math>P(x, y)</math> の微分 <math>dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy</math> になる時、<br>
上式(1)を完全微分方程式という。<br>
<br>
完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br>
<math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
<br><br>

__FORCETOC__
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